解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求由 $y=f(x)(\geqslant 0)$ 与直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴，$x$ 轴旋转一圈，所得的旋转体体积 $V_y, V_x$ ．
求曲线 $y=3-\left|x^2-1\right|$ 与 $x$ 轴所围成的封闭曲线绕直线 $y=3$ 旋转所得的旋转体体积．
设 $f(x)=\int_{-1}^x(1-|t|) d t(x \geqslant-1)$ ，求曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积．
求由点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线与该抛物线及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积．
设在空间直角坐标系中有两点：$A(1,0,1), B(1,1,3)$ ．（1）求直线 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周所得的旋转面方程，并指出是什么曲面；（2）求该曲面与平面 $z=0, z=1$ 所围图形的体积．
设星形线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 t \\ y=a \sin ^3 t\end{array}\right.$ ，求（1）它所用的面积；（2）它的周长；（3）它绕 $x$ 轴旋转而成旋转体的体积和表面积．
一容器由 $y=x^2$ 绕 $y$ 轴旋转而成，其容积为 $72 \pi m^3$ ，其中盛满水，水的比重为 $\mu$ ，现将水从容器中抽出 $64 \pi m^3$ ，问需做多少功？（长度单位： m ，重力加速度为 $g m / s ^2$ ，水的密度 $10^3 kg / m ^3$ ）。