解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $u=x^{y^z}$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$
设 $z=\left(x^2+y^2\right) e ^{-\arctan \frac{y}{x}}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $d z$
设 $z= e ^{-x}-f(x-2 y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^2$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
已知 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=1$ ，且当 $x=0$ 时，$z=\sin y$ ；当 $y=0$ 时，$z=\sin x$ ，则 $z(x, y)=$
设 $z=\left(1+x^2+y^2\right)^{x y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$
设 $f(x, y, z)$ 为 $k$ 次齐次函数，即 $f(t x, t y, t z)=t^k f(x, y, z)$ ，求 $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}$ ．
设 $z=f\left(x^2+y^2, x \sin y\right), f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $w=f(t), t=\varphi\left(x y, x^2+y^2\right), f$ 二阶可导，$\varphi$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}$ ．
设 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right), y=\varphi(x), f$ 可求偏导，$\varphi$ 可导，求 $\frac{ d z}{d x}$ ．
设 $z=x f\left(x y, x^2+y^2\right), f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设函数 $f(u, v)$ 由关系式 $f[x g(y), y]=x+g(y)$ 所确定，其中函数 $g(y)$ 可微，且 $g(y) \neq 0$ ，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}=$
设变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-2 y \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把方程 $6 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$ 简化为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=0$ ，其中 $z$ 具有二阶连续偏导数，求常数 $a$ ．
设 $(r, \theta)$ 为极坐标，$u=u(r, \theta)$ 具有二阶连续偏导数，并满足 $\frac{\partial u}{\partial \theta} \equiv 0$ ，且 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，求 $u(r, \theta)$ ．
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，求 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续一阶偏导数，$z=z(x, y)$ 由方程 $x e ^x-y e ^y=z e ^z$ 所确定，求 $d u$ ．
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $F(z-x, z-y)=0$ 确定，求 $d z$ ．
设 $u=f(x, y, z), \phi\left(x^2, e ^y, z\right)=0, y=\sin x$ 确定了函数 $u=u(x)$ ，其中 $f, \phi$ 都有一阶连续偏导数，且 $\frac{\partial \phi}{\partial z} \neq 0$ ，求 $\frac{ d u}{d x}$ ．
设 $y=g(x, z), z=z(x, y)$ 由方程 $F(z-x, y)=0$ 确定，求 $\frac{ d y}{d x}$ ．