单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极小值，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数大于零
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数等于零
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数小于零
$\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数不存在
设 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\sin \left(x^2+y^2\right)}=-1$ ，则
$\text{A.}$ $f_x(0,0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f_x(0,0)$ 存在但不为零
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极小值
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极大值
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点
$\text{D.}$ 根据所给条件无法判断点 $(0,0)$ 是否是 $f(x, y)$ 的极值点
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $z=x^3+y^3-3 x^2-3 y^2$ 的极值．
求函数 $f(x, y)=x y(a-x-y)$ 的极值．
求由方程 $x^2+y^2+z^2-2 x+2 y-4 z-10=0$ 所确定函数 $z=z(x, y)$ 的极值．
求函数 $f(x, y)=x^2+y^2-3$ 在条件 $x-y+1=0$ 下的极值．
求函数 $z=x^2 y(4-x-y)$ 在直线 $x+y=6, x$ 轴和 $y$ 轴所围成的区域 $D$ 上的最大值和最小值．
已知三角形周长为 $2 p$ ，求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大的三角形。
设在平面坐标系中有三点：$P_1(0,0), P_2(1,0), P_3(0,1)$ ，在由三角形 $P_1 P_2 P_3$ 区域上各求一点 $P$ ，使到三个点距离的平方和为最大和最小．
求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $z=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=4$下的最大值和最小值。
求函数 $z=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在 $x^2+y^2 \leqslant 25$ 上的最大值与最小值．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $2 x+3 y-6=0$ 的距离最短．
求两球 $x^2+y^2+z^2=16$ 与 $x^2+y^2+z^2+2 x+2 y+2 z=24$ 交线的最高点与最低点．
设某厂生产甲乙两种产品，产量分别为 $x, y$（千只），其利润函数为
$$
L(x, y)=-x^2-4 y^2+8 x+24 y-15 .
$$
如果现有原料 15000 千克（不要求用完），生产两种产品每千只都需要原料 2000 千克，求
（1）使利润最大的 $x, y$ 和最大利润；
（2）如果原料降至 12000 千克，求这时利润最大的产量和最大利润．
利用条件极值的方法证明：对任意正数 $a, b, c$ ，有 $a b c^3 \leqslant \frac{27}{5^5}(a+b+c)^5$ ．