特殊的平行四边形

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特殊的平行四边形

一、单选题（共 17 题），每题只有一个选项正确

1. 如图，在矩形

A B C D

中，分别以点 A 和

C

为圆心，

A D

长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若

A D = 4

，则图中阴影部分的面积为

A.

32 - 8 π

B.

16 \sqrt{3} - 4 π

C.

32 - 4 π

D.

16 \sqrt{3} - 8 π

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2. 如图，

O

是坐标原点，菱形

A B O C

的顶点

B

在

x

轴的负半轴上，顶点

C

的坐标为

(3, 4)

，则顶点 A 的坐标为

A.

(- 4, 2)

B.

(- \sqrt{3}, 4)

C.

(- 2, 4)

D.

(- 4, \sqrt{3})

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3. 小美同学按如下步骤作四边形

A B C D

：（1）画

∠ M A N

；（2）以点 A 为圆心， 1 个单位长为半径画弧，分别交

A M

，

A N

于点

B, D

；（3）分别以点

B, D

为圆心， 1 个单位长为半径画弧，两弧交于点

C

；（4）连接

B C, C D, B D

．若

∠ A = 44^{\circ}

，则

∠ C B D

的大小是

A.

64^{\circ}

B.

66^{\circ}

C.

68^{\circ}

D.

70^{\circ}

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4. 如图，在矩形

A B C D

中，对角线

A C

与

B D

相交于点

O

，则下列结论一定正确的是

A.

A B = A D

B.

A C ⊥ B D

C.

A C = B D

D.

∠ A C B = ∠ A C D

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5. 如图，四边形

A B C D

是菱形，

C D = 5, B D = 8, A E ⊥ B C

于点

E

，则

A E

的长是

A.

\frac{24}{5}

B.

C.

\frac{48}{5}

D.

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6. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的＂特征值＂．如图，矩形

A B C D

位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中＂特征值＂最小的是

A.

点

A

B.

点

B

C.

点

C

D.

点

D

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7. 如图，在平面直角坐标系中，点

A

的坐标为

(- 4, 0)

，点

C

的坐标为

(0, 2)

．以

O A, O C

为边作矩形

O A B C

，若将矩形

O A B C

绕点

O

顺时针旋转

90^{\circ}

，得到矩形

O A^{'} B^{'} C^{'}

，则点

B^{'}

的坐标为

A.

(- 4, - 2)

B.

(- 4, 2)

C.

(2, 4)

D.

(4, 2)

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8. 如图，在矩形

A B C D

中，对角线

A C, B D

相交于点

O, ∠ A B D = 60^{\circ}, A B = 2

，则

A C

的长为

A.

B.

C.

D.

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9. 如图，在矩形

A B C D

中，

A B = 6, B C = 8

，点

E

在

D C

上，把V

A D E

沿

A E

折叠，点

D

恰好落在

B C

边上的点

F

处，则

\cos ∠ C E F

的值为

A.

\frac{\sqrt{7}}{4}

B.

\frac{\sqrt{7}}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{5}{4}

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10. 如图 1，动点

P

从菱形

A B C D

的点

A

出发，沿边

A B \to B C

匀速运动，运动到点

C

时停止．设点

P

的运动路程为

x, P O

的长为

y, y

与

x

的函数图象如图 2 所示，当点

P

运动到

B C

中点时，

P O

的长为

A.

B.

C.

\sqrt{5}

D.

2 \sqrt{2}

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11. 如图 1，矩形

A B C D

中，

B D

为其对角线，一动点

P

从

D

出发，沿着

D \to B \to C

的路径行进，过点

P

作

P Q ⊥ C D

，垂足为

Q

．设点

P

的运动路程为

x, P Q - D Q

为

y, y

与

x

的函数图象如图 2 ，则

A D

的长为

A.

\frac{4 \sqrt{2}}{3}

B.

\frac{8}{3}

C.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

D.

\frac{11}{4}

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12. 如图，边长为 5 的正方形

A B C D, E, F, G, H

分别为各边中点，连接

A G, B H, C E, D F

，交点分别为

M, N, P, Q

，那么四边形

M N P Q

的面积为

A.

B.

C.

D.

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13. 如图，边长为 2 的正方形

A B C D

的对角线

A C

与

B D

相交于点

O . E

是

B C

边上一点，

F

是

B D

上一点，连接

D E, E F

．若

D E F

与

D E C

关于直线

D E

对称，则

△ B E F

的周长是

A.

2 \sqrt{2}

B.

2 + \sqrt{2}

C.

4 - 2 \sqrt{2}

D.

\sqrt{2}

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14. 四边形

A B C D

为矩形，过

A, C

作对角线

B D

的垂线，过

B, D

作对角线

A C

的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为

A.

菱形

B.

矩形

C.

直角梯形

D.

等腰梯形

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15. 宽与长的比是

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形

A B C D

是黄金矩形。

(A B < B C)

，点

P

是边

A D

上一点，则满足

P B ⊥ P C

的点

P

的个数为

A.

B.

C.

D.

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16. 如图，在边长为 6 的正方形

A B C D

中，点

E, F

分别是边

A B, B C

上的动点，且满足

A E = B F, A F

与

D E

交于点

O

，点

M

是

D F

的中点，

G

是边

A B

上的点，

A G = 2 G B

，则

O M + \frac{1}{2} F G

的最小值是

A.

B.

C.

D.

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17. 如图，在边长为 4 的正方形

A B C D

中，点

E

是

B C

上一点，点

F

是

C D

延长线上一点，连接

A E, A F, A M

平分

∠ E A F

．交

C D

于点

M

．若

B E = D F = 1

，则

D M

的长度为

A.

B.

\sqrt{5}

C.

\sqrt{6}

D.

\frac{12}{5}

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

18. 如图，正方形

A B C D

的面积为 4 ，点

E, F, G, H

分别为边

A B, B C, C D, A D

的中点，则四边形

E F G H

的面积为

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19. 将一张矩形纸片（四边形

A B C D

）按如图所示的方式对折，使点

C

落在

A B

上的点

C^{'}

处，折痕为

M N

，点

D

落在点

D^{'}

处，

C^{'} D^{'}

交

A D

于点

E

．若

B M = 3, B C^{'} = 4, A C^{'} = 3

，则

D N =

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20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形

A B C D

的边

A B

在

x

轴上，点

A

的坐标为

(- 2, 0)

，点

E

在边

C D

上．将

△ B C E

沿

B E

折叠，点

C

落在点

F

处．若点

F

的坐标为

(0, 6)

，则点

E

的坐标为

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21. 如图，两张宽度均为 3 cm 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为

60^{\circ}

，则重合部分构成的四边形

A B C D

的周长为

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22. 如图，正方形

A B C D

的边长为

3 \sqrt{2}

，对角线

A C, B D

相交于点

O

，点

E

在

C A

的延长线上，

O E = 5

，连接

D E

．
（1）线段

A E

的长为

；
（2）若

F

为

D E

的中点，则线段

A F

的长为

．

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23. 如图，在菱形

A B C D

中，

∠ A B C = 60^{\circ}, A B = 6, A C

是一条对角线，

E

是

A C

上一点，过点

E

作

E F ⊥ A B

，垂足为

F

，连接

D E

．若

C E = A F

，则

D E

的长为

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24. 如图，菱形

A B C D

的面积为 24 ，点

E

是

A B

的中点，点

F

是

B C

上的动点．若

△ B E F

的面积为 4 ，则图中阴影部分的面积为

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25. 如图，在菱形

A B C D

中，对角线

A C, B D

相交于点

O, \frac{A C}{B D} = \frac{5}{3}

．线段

A B

与

A^{'} B^{'}

关于过点

O

的直线

l

对称，点

B

的对应点

B^{'}

在线段

O C

上，

A^{'} B^{'}

交

C D

于点

E

，则

△ B^{'} C E

与四边形

O B^{'} E D

的面积比为

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26. 在矩形

A B C D

中，

A B = 4 c m, B C = 8 c m

，点

E

在直线

A D

上，且

D E = 2 c m

，则点

E

到矩形对角线所在直线的距离是

cm ．

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