解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a \in R , a \neq 0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left(\sin \frac{1}{a}\right)^{2 n}+a}{a^{2 n}+1}$
计算定积分 $\int_0^\pi[x] x \sin x d x$ ，其中 $[ x ]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．
设 $f(x, y)=\int_0^{x y} e ^{-t^2} d t$ ，求 $\frac{x}{y} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\frac{y}{x} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ ．
设 $0 < a < 1$ ，比较 $\cos (\sqrt{2} \cdot a)$ 与 $\sqrt{1+a^4}-a^2$ 的大小．
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} x^2 d V$ ，其中 $\Omega$ 是由 $z=y^2, z=4 y^2, z=x$ ， $z=\sqrt{3} x, z=3$ 所围成的立体区域．
已知 $x, y, z$ 为非负实数，且 $x+y+z \leq 3$ ，求 $u(x, y, z)=x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2$ 的最大值．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=1$ ，且有递推表达式：
$$
a_{n+1}=\ln \left(e^{a_n}-a_n\right) \text {, 其中 } n=0,1,2, \cdots \text {. }
$$
求证：无穷级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛并求和．
已知 $C$ 是一条正向封闭的简单光滑曲线．
（1）证明：$\oint_C\left(x^2 y+y^3\right) d x+x\left(4+y^2\right) d y \leq 4 \sqrt{2} \pi$ 。
（2）取怎样的 $C$ 可达此上界？
已知 $f(x)$ 是定义在 $[a,+\infty)$ 上具有任意阶导数的函数，且 $f(a)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明：对于任意正整数 $k$ ，存在 $x_k \in[a,+\infty)$ ，使得 $f^{(k)}\left(x_k\right)=0$ ．