单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
利用泰勒公式，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 的等价无穷小为（ ）。
$\text{A.}$ $5 x^2$
$\text{B.}$ $7 x^2$
$\text{C.}$ $-5 x^2$
$\text{D.}$ $-7 x^2$
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，下列结论成立的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极小值，点 $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
利用皮亚诺型泰勒公式，极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}=$
分别用洛必达法则及泰勒展开公式求极限： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}$ ．
讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a>0$ ）有几个实根？
已知函数 $f(x)=4 \arctan x-x+\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$ ，证明：$f(x)$ 恰有两个零点．
证明： $\tan x>x+\frac{1}{3} x^3 \quad\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$ ．
证明：当 $0 < x < \pi$ 时，有 $\sin \frac{x}{2}>\frac{x}{\pi}$ ．
设 $p, q$ 是大于 1 的常数，且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ．证明：对于任意 $x>0$ ，有 $\frac{1}{p} x^p+\frac{1}{q} \geq x$ ．
将长为 $a$ 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段的长各为多少？
求抛物线 $y=x^2-4 x+3$ 在其顶点处的曲率及曲率半径．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos 2 x}{\ln \cos 3 x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^x$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right)$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)$
已知函数 $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ ，求：
（1）函数的单调区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点；
（3）函数图形的渐近线．
设某商品的需求函数为 $Q=40-2 p$（ $p$ 为商品价格），则该商品的边际收益为 $\qquad$ ．
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上连续；在开区间 $(0, \pi)$ 内可导，证明：存在 $\xi \in(0, \pi)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=-f(\xi) \cot \xi$ ．
已知 $0 < a < b$ ，证明：$\xi \in(a, b),\left(\ln ^2 b-\ln ^2 a\right) \xi=2(b-a) \ln \xi$ ．
用两种方法证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x} < \ln (1+x) < x$ ．
证明 $\forall x \in R, \arctan e ^x+\arctan e ^{-x} \equiv \frac{\pi}{2}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，其中 $0 < a < b$ ，证明：$\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=(a+b) \cdot \frac{f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}
$$