单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
利用夹逼准则，极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} d x$ 为（ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
已知 $f(x)=3 x^2-\int_0^1 f(t) d t$ ，则 $f(x)=(\quad)$
$\text{A.}$ $3 x^2$
$\text{B.}$ $3 x^2-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $3 x^2-1$
$\text{D.}$ $3 x^2-2$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) d t}{1-\cos x^2}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\cdots+\frac{n^2}{n^2}\right)=$ $\qquad$ ．
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\qquad$ ．
定积分 $\int_0^2 \sqrt{4 x-x^2} d x=$ $\qquad$ ．
定积分 $\int_1^{1+\pi}|\sin x| d x=$
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) d x=$ $\qquad$ ．
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\int_0^x\left[t-t^2\left( e ^{\frac{1}{t}}-1\right)\right] d t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ ．
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1+x^2 & x \leq 0 \\ e^{-x} & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) d x$ ．
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^6 x-\cos ^6 x}{\sin x+\cos x} d x$ ．
（1） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$
（2） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 x d x$
（3） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^5 x d x$
（4） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^6 x d x$
用第一类换元积分法（令 $t=\pi-x$ ），证明： $\int_0^\pi x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) d x$ ，并由此计算定积分 $\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ ．
设 $f(x)$ 有一个原函数为 $\frac{\sin x}{x}$ ，求 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) d x$ 的值．
定积分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 x+\sin 2 x}{\cos ^2 x} d x=$
计算定积分 $\int_0^2 x \sqrt{2 x-x^2} d x$ ．
反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} e ^{\frac{1}{x}} d x=$ $\qquad$ ．
计算反常积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{\left|x^2-x\right|}} d x$ ．
计算由直线 $y=x, y=4 x$ 及曲线 $y=\frac{4}{x}$ 在第一象限所围成的图形的面积．
已知平面区域 D 由直线 $y=0$ ，直线 $x=\frac{\pi}{2}$ ，曲线 $y=A \sin x(A>0)$ 所围成．
（1）求区域 D 的面积（用 $A$ 表示）；
（2）若 D 分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转所得的立体图形的体积相等，求 $A$ ．
求双纽线 $r^2=a^2 \cos 2 \theta$ 所围成的平面图形的面积．
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围图形的面积．
求悬链线 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 从 $x=0$ 到 $x=a$ 一段的弧长．
求心形线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 的周长．
求摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), a>0$ 一拱的弧长．
计算圆 $x^2+y^2=R^2$ 在 $[-R, R]$ 上的弧绕 $x$ 轴旋转所得球面的面积．