解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续，对于任意正数 $a, b$ ，积分 $\int_a^{a b} f(x) d x$ 与 $a$无关，且 $f(1)=1$ ，求 $f(x)$ ．
已知函数 $f(x)$ 为连续函数，且
$$
\int_0^{2 x} x f(t) d t+2 \int_x^0 t f(2 t) d t=2 x^3(x-1)
$$
求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值与最小值．
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续非负函数，且
$$
f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x,
$$
求 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的平均值
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内可导的单调递减的函数，证明 $F(x)=\int_a^x \frac{f(t)}{x-a} d t$ 也是 $(a, b)$ 内单调递减的函数