单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $( A B ) x = 0 ()$ ．
$\text{A.}$ 当 $n>m$ 时仅有零解
$\text{B.}$ 当 $n>m$ 时必有非零解
$\text{C.}$ 当 $m>n$ 时仅有零解
$\text{D.}$ 当 $m>n$ 时必有非零解
已知向量组 I ：$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，则线性无关的向量组是（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_4, \alpha_4+\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3+\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_4, \alpha_4+\alpha_1$
设向量组（I） $\alpha _1=\left(a_1, a_2, a_3\right)^T, \alpha _2=\left(b_1, b_2, b_3\right)^T, \alpha _2=\left(c_1, c_2, c_3\right)^T$
（II） $\beta _1=\left(a_1, a_2, a_3, a_4\right)^T, \beta _2=\left(b_1, b_2, b_3, b_4\right)^T, \beta _3=\left(c_1, c_2, c_3, c_4\right)^T$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ 向量组（I）线性相关，则向量组（II）也线性相关
$\text{B.}$ 向量组（I）线性无关，则向量组（II）也线性无关
$\text{C.}$ 向量组（II）线性无关，则向量组（I）也线性无关
$\text{D.}$ 向量组（II）线性无关的充分必要条件是向量组（I）也线性无关
$n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geq 2)$ 线性无关的充分条件是（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 均不为零向量．
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中任意两个向量的分量不成比例．
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中任意一个向量均不能由其余 $s-1$ 个向量线性表示．
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中部分向量线性无关．
若向量组 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关；$\alpha, \beta, \delta$ 线性相关，则（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha$ 必可由 $\beta, \gamma, \delta$ 线性表示
$\text{B.}$ $\beta$ 必不可由 $\alpha, \gamma, \delta$ 线性表示
$\text{C.}$ $\delta$ 必可由 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性表示
$\text{D.}$ $\delta$ 必不可由 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性表示
设 $n$ 维列向量 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m m < n$ 线性无关，则 $n$ 维列向量 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性无关的充要条件为（ ）
$\text{A.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 可由向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性表示．
$\text{B.}$ 向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 可由向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 线性表示．
$\text{C.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 与向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 等价
$\text{D.}$ 矩阵 $A = \alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 与矩阵 $B = \beta _1, \cdots, \beta _m$ 等价
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量组 $\alpha _1=\left(1, a, a^2\right)^{ T }, \alpha _2=(1,2,4)^{ T }, \alpha _3=(1,-2,4)^{ T }$ 线性相关，则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量 $\alpha _1=(2,0,4,2), \alpha _2=(0,2,4,1), \alpha _3=(1,0, a, 1), \alpha _4=(0,-2,5,1)$ ， $b =(1,1,0, a)$ ，矩阵 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$ ，判断非齐次线性方程组 $A x = b$ 解的情况．
设 $\alpha _1=(1,1,2,2)^T, \alpha _2=(1,2,1,3)^T, \alpha _3=(1,-1,4,0)^T, \beta =(1,0,3,1)^T$ ，问 $\beta$ 可否由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示．
设三阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维向量 $\alpha =a, 1,1^T$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $a=$
向量组 $\alpha _1=1,-1,3, \stackrel{T}{0}, \alpha _2=-2,1, a, 1^T, \alpha _3=1,1,-5,-2^T$ 的秩为 2 ，则 $a=$ $\qquad$
已知向量组
$A : \alpha _1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), B : \beta _1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta _3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ t\end{array}\right)$ ，且向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价，则 $t=$
设 $A=\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2\end{array}\right), \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是一组基，$B=\beta_1, \beta_2=\left(\begin{array}{cc}-2 & 6 \\ 0 & 3 \\ -4 & 2\end{array}\right)$ ，求 $\beta_1, \beta_2$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标。