单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $H =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ，则与 $H$ 相似的矩阵是（ ）。
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ -a & -a & -a\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n$ 阶矩阵 $A =\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，证明 $A ^T A$ 是对角矩阵 $\Leftrightarrow \alpha _1, \alpha _2, \cdots \alpha _r$ 两两正交．
$A$ 为 3 阶矩阵，$A$ 有特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$ ，则 $|A| A^{-1}-E \mid=$ $\qquad$
$A$ 为3阶矩阵，$A-E, A+2 E, 2 A-E$ 为不可逆矩阵，则 $|A+3 E|=$ $\qquad$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$ ，用施密特正交化方法把这组向量标准化．
判断矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 4\end{array}\right]$ 可否对角化，若能够对角化，求出可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角阵．
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的三维列向量，且满足：
$$
A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_2=2 \alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_3=2 \alpha_2+3 \alpha_3
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $A\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]=\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right] B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征向量；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P = \Lambda$ ．
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right]$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q ^{-1} A Q = \Lambda$ ．
设三阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和都是 3 ，向量 $\alpha_1=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & -1\end{array}\right]^T, \alpha_2=\left[\begin{array}{lll}0 & -1 & 1\end{array}\right]^T$都是齐次线性方程组 $A x =0$ 的解．求：
（1） $A$ 的特征值和特征向量；
（2）作正交阵 $Q$ 和对角阵 $\Lambda$ ，使得 $Q ^T A Q = \Lambda$ ．