单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_2^2+2 x_1 x_3$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=-1$ 在空间直角坐标
系下表示的二次曲面为（ ）。
$\text{A.}$ 单叶双曲面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 椭球面
$\text{D.}$ 柱面
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 ，则 a的取值范围为 $\qquad$ ．
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-\left(x_3-x_1\right)^2$ 的正惯性指数为 $\qquad$负惯性指数为 $\qquad$ ．
用配方法将二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+6 x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+10 x_2 x_3
$$
化成标准形，并写出所用的可逆线性变换。
用配方法将二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(-2 x_1+x_2+x_3\right)^2+\left(x_1-2 x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+x_2-2 x_3\right)^2
$$
化成标准形，并写出所用的可逆线性变换。
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ ．
（1）求二次型矩阵 $A$ 的所有特征值；
（2）若二次型的规范形为 $z_1^2+z_2^2$ ，求 $a$ 的值。
设 $x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\top}$ ，二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^{\top} A x, A$ 的各行元素之和为 6 ，
矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), A B=0$ 。求正交变换 $x=P y$ 化二次型为标准形，其中 $y=\left(y_1, y_2, y_3\right)^{\top}$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$B=A^{\top} A+\lambda E$ ，其中 $\lambda>0, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：B 是正定矩阵。