填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $a,b$ 满$a+b=0,|a|=2,|b|=2$ ，则 $a \cdot b=$ ．
设 $z=x \ln (x y)$ ，则 $\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}=$
曲面 $x^2+y^2+z=9$ 在点 $(1,2,4)$ 处的切平面方程为
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 $f(x)=x$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x=3$ 处收敛于 $\_\_\_\_$ ，在 $x=\pi$ 处收敛于 $\_\_\_\_$
设 $L$ 为连接 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 两点的直线段，则 $\int_L(x+y) d s=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+3 y^2+z^2=9 \\ z^2=3 x^2+y^2\end{array}\right.$ 在点 $M_0(1,-1,2)$ 处的切线及法平面方程．
求由曲面 $z=2 x^2+2 y^2$ 及 $z=6-x^2-y^2$ 所围成的立体体积．
判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \frac{n+1}{n}$ 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+\sin y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $z=h(0 < h < a)$ 截出的顶部．
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
计算曲线积分 $\int_L\left(e^x \sin y-m\right) d x+\left(e^x \cos y-m x\right) d y$ ，
其中 $m$ 为常数，$L$ 为由点 $A(a, 0)$ 至原点 $O(0,0)$ 的上半圆周 $x^2+y^2=a x(a>0)$ ．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{3^n \cdot n}$ 的收敛域及和函数．
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 d y d z+2 y^3 d z d x+3\left(z^2-1\right) d x d y$ ，
其中 $\sum$ 为曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧．
设 $f(x)$ 为连续函数，$f(0)=a, F(t)=\iiint_{\Omega_t}\left[z+f\left(x^2+y^2+z^2\right)\right] d v$ ，其中 $\Omega_t$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$
与 $z=\sqrt{t^2-x^2-y^2}$ 所围成的闭区域，求 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^3}$ ．