解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left(\mathbb{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$f$ 为 $\mathbb{R}^1$ 上的 Lebesgue 可测函数，且有
$$
f(x+1) \doteq f(x)
$$
作函数 $g: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ ，s．t．$g$ 是 $\mathbb{R}^1$ 上周期为 1 的函数，即
$$
g(x+1)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}^1,
$$
且在 $\mathbb{R}^1$ 上，有
$$
g(x) \doteq \underset{m}{\doteq} f(x)
$$
设 $\left\{f_k\right\}$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可测函数列．证明：存在正数列 $\left\{a_k\right\}$ ，使得在 $[a$ ， b］上有
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\lim _{k \rightarrow+\infty} a_k \cdot f_k(x) \underset{m}{\doteq} 0, x \in[a, b]
$$
设 $m(E) < +\infty, f, f_1, f_2, \cdots, f_k, \cdots$ 为 $E \in \mathscr{L}$ 上几乎处处有限的 Lebesgue 可测函数．证明：
$\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上依 Lebesgue 测度收剑于 $f$（即 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上度量收敛于 $f$ ）
$$
\Leftrightarrow \liminf _{k \rightarrow+\infty}\left\{\alpha+m\left(\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid>\alpha\right\}\right)\right\}=0 .
$$