单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha \ln ^\beta n}$ 收敛的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha>1$.
$\text{B.}$ $\alpha>1, \beta>1$.
$\text{C.}$ $\alpha \geqslant 1, \beta>1$.
$\text{D.}$ $\alpha>1$ 或 $\alpha=1, \beta>1$.
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 它在区间 $(-\pi, \pi]$ 上的表达式是 $f(x)=x+x^2$. 若其傅里叶 (Fourier) 级数为 $S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$, 则
$\text{A.}$ $b_3=\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi^2$.
$\text{B.}$ $b_3=\frac{4}{3}, S(3 \pi)=\pi$.
$\text{C.}$ $b_3=\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi$.
$\text{D.}$ $b_3=-\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi^2$.
下列广义积分中, 发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} \mathrm{~d} x$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛,下面 4 个级数，
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n-a_{n+1}\right)$;
(3) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)$.
必收敛的个数为 （ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 连续且满足 $f(x+\pi)+f(x)=0$, 则 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶系数 $(n=1$, $2, \cdots)$
$\text{A.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n}=0$.
$\text{B.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{C.}$ $a_{2 n-1}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{D.}$ $a_{2 \pi-1}=0, b_{2 n}=0$.
已知 $a_n=\frac{(-1)^{[\cos 2 n]}}{n}$, 其中 $n$ 为正整数, $[\cos 2 n]$ 表示不超过 $\cos 2 n$ 的最大整数, 则数列 $\left\{a_n\right\}$
$\text{A.}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$, 有最小值 -1 .
$\text{B.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 有最大值 $\frac{1}{3}$, 有最小值 -1 .