单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+$ $4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 单叶双曲面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 椭球面
$\text{D.}$ 柱面
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{array}\right)$.
当 $a$ 为何值时，方程 $A X=B$ 无解、有唯一解，有无穷多解?
在有解时，求解此方程.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
（1）求 $A^{99}$ ；
（2）设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$ 。记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ，将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合.