一、单选题 (共 20 题 ),每题只有一个选项正确
1. 设二次型 , 则下列正确的是
是正定
是负定
即不是正定, 也不是负定
的秩等于1
2. 下列说法中正确的是
若 3 个 3 维列向量 两两正交, 则 线性无关
若 3 个 3 维列向量 线性无关, 则 两两正交
若 3 个 2 维列向量 两两正交, 则 中至少一个为 0
若 3 个 2 维列向量 两两正交, 则 中只能有一个为 0
3. 阶方降 能与对角矩阵相似的充分必要条件是
具有 个线性无关的特征向量
的 个特征值互不相等
是实对称矩阵
的特征向量两两正交
4. 设二次型 的正负惯性指数分别为 1,2 , 则
.
.
.
或 .
5. 设二次型 在正交变换 下的标准形为 , 其中 , 若 , 则 在正交变换 下的标准形为
.
.
.
.
6. 设 是 3 阶实对称矩阵, 是 3 阶单位矩阵. 若 , 且 , 则二次型 的规范形为
.
.
.
.
7. 设 , 则 与
合同且相似.
合同但不相似.
不合同但相似.
不合同且不相似.
8. 设矩阵 , 则 与
合同,且相似。
合同,但不相似.
不合同, 但相似.
既不合同,也不相似.
9. 判断下列矩阵是否是正定矩阵
(1) ;
(2) .
(1)是 , (2)不是
(1)是 , (2)是
(1)不是 , (2)是
(1)不是 , (2)不是
10. 已知 3 阶矩阵 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 , 且 按列分块为 , 设 , 则 .
;
;
;
.
11. 设 是 3 阶矩阵, 0 是 的单特征值, 是满足 的非零向量. 若对满足 的 3维列向量 ,均有 ,则()
, 均能相似对角化.
不能相似对角化, 能相似对角化.
能相似对角化, 不能相似对角化.
, 均不能相似对角化.
12. 设二次型 , 其对应的对称矩阵为 . 在自然基 , 下, 二次曲面 的曲面方程为 。该曲面方程在正交变换 下化为 , 其中 . 该变换将 分别变为 . 下列命题中,正确的是()
.
为柱面, 在原坐标系下, 的母线的单位方向向量坐标为 .
为柱面, 在原坐标系下, 的母线的单位方向向量坐标为 .
为柱面, 在原坐标系下, 的母线的单位方向向量坐标为 .
13. 设 是正交矩阵,则下列结论错误的是( )
必为
必为 1
的行(列)向量组是正交单位向量组
14. 设 是实对称矩阵, 是实可逆矩阵, .则()
与 相似
与 不等价
A 与 B 有相同的特征值
与 合同
15. 下列矩阵中是正定矩阵的为( )
16. 设 ,则下列矩阵中与 合同的是 .
17. 设 ,则矩阵 和
合同且相似
合同但不相似
不合同但相似
不合同也不相似
18. 与矩阵 合同的矩阵是( )。
.
19. 与矩阵 既相似又合同的矩阵是( )
20. 设 是 3 阶实对称矩阵, 是 3 阶单位矩阵,若 ,且 ,则二次型 的规范形为( )