后保研线性代数二次型试卷

数学

本试卷总分100分,考试时间90分钟。
注意事项:
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。
考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
学校:_______________ 姓名:_____________ 班级:_______________ 学号:_______________


一、单选题 (共 20 题 ),每题只有一个选项正确
1. 设二次型 f(x1,x2,x3)=5x12+6x22+4x324x1x24x1x3, 则下列正确的是
A. f 是正定 B. f 是负定 C. f 即不是正定, 也不是负定 D. f 的秩等于1

2. 下列说法中正确的是
A. 若 3 个 3 维列向量 α1,α2,α3 两两正交, 则 α1,α2,α3 线性无关 B. 若 3 个 3 维列向量 α1,α2,α3 线性无关, 则 α1,α2,α3 两两正交 C. 若 3 个 2 维列向量 α1,α2,α3 两两正交, 则 α1,α2,α3 中至少一个为 0 D. 若 3 个 2 维列向量 α1,α2,α3 两两正交, 则 α1,α2,α3 中只能有一个为 0

3. n 阶方降 A 能与对角矩阵相似的充分必要条件是
A. A 具有 n 个线性无关的特征向量 B. An 个特征值互不相等 C. A 是实对称矩阵 D. A 的特征向量两两正交

4. 设二次型 f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正负惯性指数分别为 1,2 , 则
A. a>1. B. a<2. C. 2<a<1. D. a=1a=2.

5. 设二次型 f(x1,x2,x3) 在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22y32, 其中 P= (e1,e2,e3), 若 Q=(e1,e3,e2), 则 f(x1,x2,x3) 在正交变换 x=Qy 下的标准形为
A. 2y12y22+y32. B. 2y12+y22y32. C. 2y12y22y32. D. 2y12+y22+y32.

6.A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵. 若 A2+A=2E, 且 |A|=4, 则二次型 xTAx 的规范形为
A. y12+y22+y32. B. y12+y22y32. C. y12y22y32. D. y12y22y32.

7.A=(1111111111111111),B=(4000000000000000), 则 AB
A. 合同且相似. B. 合同但不相似. C. 不合同但相似. D. 不合同且不相似.

8. 设矩阵 A=(211121112),B=(100010000), 则 AB
A. 合同,且相似。 B. 合同,但不相似. C. 不合同, 但相似. D. 既不合同,也不相似.

9. 判断下列矩阵是否是正定矩阵
(1) A=(112110203);
(2) A=(201030102).
A. (1)是 , (2)不是 B. (1)是 , (2)是 C. (1)不是 , (2)是 D. (1)不是 , (2)不是

10. 已知 3 阶矩阵 A 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 P, 且 P1AP=(100010002),P 按列分块为 P=(p1,p2,p3), 设 Q=(2p3,p1,p1+p2), 则 Q1AQ=.
A. (100010002); B. (200010001); C. (400010002); D. (400020002).

11.A 是 3 阶矩阵, 0 是 A 的单特征值, α 是满足 Aα=0 的非零向量. 若对满足 βTα=0 的 3维列向量 β ,均有 A2β=β ,则()
A. AA2 均能相似对角化. B. A 不能相似对角化, A2 能相似对角化. C. A 能相似对角化, A2 不能相似对角化. D. AA2 均不能相似对角化.

12. 设二次型 f(x,y,z)=(xy)2+(yz)2+(zx)2, 其对应的对称矩阵为 A. 在自然基 e1,e2, e3 下, 二次曲面 S 的曲面方程为 f(x,y,z)=3 。该曲面方程在正交变换 (xyz)=Q(uvw) 下化为 λ1u2+λ2v2+λ3w2=3, 其中 λ1λ2λ3. 该变换将 e1,e2,e3 分别变为 α1,α2,α3. 下列命题中,正确的是()
A. (e1,e2,e3)=(α1,α2,α3)Q. B. S 为柱面, 在原坐标系下, S 的母线的单位方向向量坐标为 12(1,1,0)T. C. S 为柱面, 在原坐标系下, S 的母线的单位方向向量坐标为 12(1,0,1)T. D. S 为柱面, 在原坐标系下, S 的母线的单位方向向量坐标为 13(1,1,1)T.

13.A 是正交矩阵,则下列结论错误的是( )
A. |A2|必为 1 B. |A| 必为 1 C. A1=AT D. A 的行(列)向量组是正交单位向量组

14.A 是实对称矩阵, C 是实可逆矩阵, B=CTAC .则()
A. AB 相似 B. AB 不等价 C. A 与 B 有相同的特征值 D. AB 合同

15. 下列矩阵中是正定矩阵的为( )

A. (2334) B. (3426) C. (100023035) D. (111120102)

16.A=[120210001] ,则下列矩阵中与 A 合同的是 ()
A. [100010001] B. [100010001] C. [100010001] D. [100010001]

17.A=(1111111111111111),B=(4000000000000000) ,则矩阵 AB


A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同也不相似

18. 与矩阵 A=(100012022) 合同的矩阵是( )。
A. (111) B. (111) C. (110) D. (110)

19. 与矩阵 A=(202030202) 既相似又合同的矩阵是( )
A. (110) B. (230) C. (340) D. (430)

20.A 是 3 阶实对称矩阵,E 是 3 阶单位矩阵,若 A2+A=2E ,且 |A|=4 ,则二次型 xTAx 的规范形为( )
A. y12+y22+y32 B. y12+y22y32 C. y12y22y32 D. y12y22y32

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