单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2$ 是来自总体 $X$ 的样本, 作为 $E X$ 的无偏估计中, 最有效的是
$\text{A.}$ $\frac{3}{5} X_1+\frac{2}{5} X_2$,
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} X_1+\frac{3}{4} X_2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{2}{3} X_2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 为已知常数,记 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则下列统计量中与 $\bar{X}$ 不独立的是
$\text{A.}$ 样本标准差
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布, 且 $X_1$ 的 4 阶矩存在, 记 $E\left(X_1^k\right)=\mu_k(k=1,2,3,4)$,则由切比雪夫不等式, 对任意由 $\varepsilon>0$ 有 $P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu_2\right| \geq \varepsilon\right\} \leq $.
$\text{A.}$ $ \frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
设 $X \sim N(0,1)$, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y \sim N(x, 1)$, 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{x y}$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
设总体 $X \sim N(0,1)$, 样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 为来自该总体的简单随机样本, $\bar{X}$ 与 $S$ 分别为样本均值和样本标准差, 则有
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{n \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
设 $(X, Y) \sim N(0,1,1,1,0.5), U=X+Y, V=X-Y$, 若已知 $(U, V)$ 是二维正态分布, 则下面错误的是
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 相关
$\text{B.}$ $U$ 与 $V$ 不相关
$\text{C.}$ $U$ 与 $V$ 不独立
$\text{D.}$ $V$ 与 $X$ 线性相关