解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2+a_2 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n & \cdots & n+a_n
\end{array}\right|$ ,$a_i \ne 0$
设有线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$
1．证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解。
2．设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，求方程组的通解。
设方阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & a & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
b & c & 0
\end{array}\right]
$$
1．$a, b, c$ 满足何关系， $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵。
2．$a, b, c$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵。
3．$a, b, c$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵。
已知二次型
$$
f=\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)
$$
通过正交变换可化为标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ，求参数 $a$ 及所作的正交变换。
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & b & a \\ a & b & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0\end{array}\right]$ ，其中 $a, b$ 是实数，$a \neq 0, b \neq 0,|a| \neq|b|$ 。
1．求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值以及长度为 1 的特征向量。
2．当 $n$ 为正整数时，计算 $[1,0,0,0] \boldsymbol{A}^n[1,0,0,0]^{\mathrm{T}}$ 。
计算行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccccccc}
9 & 5 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
4 & 9 & 5 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 9 & 5 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 9 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 4 & 9
\end{array}\right|$
讨论$\lambda$取何值时，方程组有解，并求
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+\lambda) x_1+x_2+x_3=1 \\
x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=\lambda \\
x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda^2
\end{array}\right.
$$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$ ，已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，但不唯一。
1．求 $a$ 的值；
2．求正交矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 为对角阵。
设
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right]
$$
1． $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 等价？
2．在实数范围内， $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 合同？
3． $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 相似？（不需要说明理由）。
证明：任一 $n$ 阶方阵可以表示成一个数量矩阵（具有 $k \boldsymbol{I}$ 形式的矩阵）与一个迹为零的矩阵之和。（矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的迹是指 $\operatorname{tr} \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^n a_{i i}$ ）
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，秩（ $\boldsymbol{A}$ ）$=r$ ，证明： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是存在 $r \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $n \times r$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}$ ，且 $\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{I}_r$ ，其中秩 $(\boldsymbol{B})=$ 秩 $(\boldsymbol{C})=r$ ， $\boldsymbol{I}_r$ 为 $r$ 阶单位阵。
证明：不存在 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{B}^2$ 。