多维随机变量与分布训练

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多维随机变量与分布训练

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设二维随机变量

(X_{1}, Y_{1})

和

(X_{2}, Y_{2})

的概率密度分别为

f_{1} (x, y)

与

f_{2} (x, y)

，令

f (x, y) = a f_{1} (x, y) + b f_{2} (x, y),

若

f (x, y)

是某二维连续型随机变量的概率密度，则

a, b

满足条件（）．

A.

a + b = 1

B.

a > 0

且

b > 0

C.

0 ⩽ a ⩽ 1, 0 ⩽ b ⩽ 1

D.

a ⩾ 0, b ⩾ 0

且

a + b = 1

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2. 设随机变量

X, Y

相互独立，且均服从标准正态分布

N (0, 1)

，则（）．

A.

P {X + Y ⩾ 1} = \frac{1}{2}

B.

P {X - Y ⩾ 1} = \frac{1}{2}

C.

P (max {X, Y} ⩾ 0} = \frac{1}{4}

D.

P {min {X, Y} ⩾ 0} = \frac{1}{4}

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3. 设随机变量

X

和

Y

独立同分布，且

X

的分布函数为

F (x)

，则

Z = max {X, Y}

的分布函数为

A.

F^{2} (z)

B.

F (x) F (y)

C.

1 - [1 - F (z)]^{2}

D.

[1 - F (x)] [1 - F (y)]

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 如果二维随机变量

(X, Y)

的分布函数为

F (x, y) = {\begin{cases} 1 - e^{- λ_{1} x} - e^{- λ_{2} y} + e^{- λ_{1} x - λ_{2} y - λ_{2} max [x, y]}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

λ_{1}, λ_{2}, λ_{12} > 0

，则

X

和

Y

的边缘分布函数分别为

．

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

5. 设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} k, & 0 < x^{2} < y < x < 1, \\ 0, & 其他. \end{cases}

（1）求常数

k

；
（2）求

P {X > \frac{1}{2}}

和

P {Y < \frac{1}{2}}

．

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6. 袋中有编号为

1, 1, 2, 3

的四个球，现从中无放回地取两次，每次任取一个，设

X_{1}, X_{2}

分别为第一次、第二次取到的球的号码，求：
（1）

(X_{1}, X_{2})

的分布律，并判断

X_{1}

与

X_{2}

的独立性；
（2）在

X_{2} = 2

的条件下，

X_{1}

的条件分布；
（3）随机变量

Y = X_{1} X_{2}

的分布．

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7. 设随机变量

X, Y

相互独立，且都在区间

[a, b]

上服从均匀分布，求

Z = min {X, Y}

的概率密度．

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8. 设随机变量

X

的概率分布为

P {X = 1} = P {X = 2} = \frac{1}{2}

．在给定

X = i

的条件下，随机变量

Y

服从均匀分布

U (0, i) (i = 1, 2)

．求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

和概率密度

f_{Y} (y)

．

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