单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
向量组（I）$\alpha_1, \alpha_2, \cdots \cdots, \alpha_r$ 与向量组（II）$\beta_1, \beta_2, \cdots \cdots, \beta_s$ 等价，则下列结论一定错误的是（ ）
$\text{A.}$ 向量组（I）可由向量组（II）线性表示
$\text{B.}$ 向量组（II）可由向量组（I）线性表示
$\text{C.}$ 向量组（I）和向量组（II）有相同的秩
$\text{D.}$ 向量组（I）和向量组（II）有相同的极大线性无关组
$A$ 为 $3 \times 4$ 的矩阵，非齐次方程组 $A X=\beta$ 的导出组为 $A X=0$ ，下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ $A X=\beta$ 必有无穷多解
$\text{B.}$ $A X=\beta$ 必有唯一解
$\text{C.}$ $A X=0$ 必有无穷多解
$\text{D.}$ $A X=0$ 必有唯一解
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则以下说法错误的是（）
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $|A|=|B|$
$\text{D.}$ $r(A)=r(B)$
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则下列说法错误的是（ ）
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性无关
$\text{B.}$ $A$ 可以表示成若干个初等矩阵的乘积
$\text{C.}$ $A$ 的特征值均不为零
$\text{D.}$ 齐次方程组 $A X=0$ 有非零解
对于矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -4\end{array}\right)$ ，以下说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ $A, B$ 相似
$\text{B.}$ $A, B$ 等价
$\text{C.}$ $A, B$ 在实数域上合同
$\text{D.}$ $A, B$ 在复数域上不合同
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ -1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ -1 & -2 & 0 & \cdots & n \\ & \cdots & & \cdots & \\ -1 & -2 & -3 & \cdots & 0\end{array}\right|=$
已知 $A \in R^{n \times n},|A|=3$ ，则 $\left|3\left(A^*\right)^{-1}\right|=$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{array}\right)$ ，则矩阵 $A$ 的秩等于
已知向量 $\alpha_1=(1, t, 3)^T, \alpha_2=(4,5,6)^T, \alpha_3=(7,4 t, 9)^T$ ，线性相关，则 $t=$
实对称矩阵 $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 对应二次型的正惯性指数为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccccc}a & 0 & 0 & \cdots & 0 & a \\ a & a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & a & \cdots & 0 & 0 \\ & \cdots & & \cdots & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & a\end{array}\right|$
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), A-2 B=A B$ ，求矩阵 $B$
求齐次方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2=0 \\ 2 x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ 5 x_1+3 x_2+2 x_3+2 x_4=0\end{array}\right.$ 的通解。
求向量组 $\alpha_1=(3,2,1,1), \alpha_2=(1,-2,11,-5), \alpha_3=(-8,-3,-12,2), \alpha_4=(2,-7,34,-16)$ $\alpha_5=(1,2,-5,3)$ 的秩。
在 $R^3$ 中，求由基底 $\alpha_1=(1,1,0), \alpha_2=(1,0,1), \alpha_3=(0,1,1)$到基底 $\beta_1=(1,0,0), \beta_2=(1,1,0), \beta_3=(1,1,1)$ 的过渡矩阵。
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 6\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T A Q$ 为对角矩阵。
求 $a$ 的取值范围，使得 $A=\left(\begin{array}{ccc}2-a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a+3\end{array}\right)$ 是正定矩阵。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是方程组 $A X=0$ 的基础解系，证明： $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 也是方程组的基础解系
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 4\end{array}\right)$ ，若存在矩阵 $B$ ，使得 $A B=0$ ，证明：$r(B) \leq 1$