解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定，求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$
求 $\int \frac{1-x^7}{x\left(1+x^7\right)} \mathrm{d} x$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x e^{-x}, & x \leq 0 \\ \sqrt{2 x-x^2}, & 0 < x \leq 1\end{array}\right.$ 求 $\int_{-3}^1 f(x) d x$
设函数 $f(x)$连续，$g(x)=\int_0^1 f(x t) d t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ，$A$ 为常数．求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
求微分方程 ${x} {y}^{\prime}+{2 y}={x} \ln {x}$ 满足 $y({1})=-\frac{{1}}{{9}}$ 的解
已知上半平面内一曲线 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x} \geq \mathbf{0})$ ，过点 $(0,1)$ ，且曲线上任一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处切线斜率数值上等于此曲线与 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x=x_0$ 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程．
过坐标原点作曲线 ${y}=\ln {x}$的切线，该切线与曲线 ${y}=\ln {x}$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D ．
（1）求 D 的面积 A ；（2）求 D 绕直线 $x=e$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减，证明对任意的 $\boldsymbol{q} \in[\boldsymbol{0 , 1}]$ ， $\int_0^q f(x) d x \geq q \int_0^1 f(x) d x$
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且 $\int_0^\pi f(x) d x=0 $, $\int_0^\pi f(x) \cos x d x=0$ ．证明：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$ ．（提示：设 $F(x)=\int_0^x f(x) d x$)