记三维欧氏空间中不共面的四点 $A, B, C, D$ 生成的四面体为 $A B C D$ ．在四面体 $A B C D$ 内部取一点 $O$ ，设四面体 $O B C D$ 的体积为 $V_A$ ，四面体 $O A C D$ 的体积为 $V_B$ ，四面体 $O A B D$ 的体积为 $V_C$ ，四面体 $O A B C$ 的体积为 $V_D$ ．
（1）求证：$(\overrightarrow{O A} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D}))(\overrightarrow{O B} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D})) < 0$ ；
（2）求证：$V_A \overrightarrow{O A}+V_B \overrightarrow{O B}+V_C \overrightarrow{O C}+V_D \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ ．

设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件：

若 $n_k \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_1+n_2=n_3+n_4$ ，则必有 $n_1=n_3$ 或 $n_1=n_4$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ ．
（1）计算 $\int_0^1|f(x)|^2 d x, \int_0^1|f(x)|^4 d x$ ．
（2）证明： $\int_0^1|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．

设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_1, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体．证明：
（1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_1, \cdots, B_m$ 使得行列式 $\left|B_j\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立．
（2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_1, \cdots, A_m$ 使得下列两条同时成立：
（i）$\left|A_j\right|=a_j(j=1, \cdots, m)$ ；
（ii）$\left|A_1-A_2-\cdots-A_m\right|=a_{m+1}$ ．

设 $K$ 为数域， $\mathcal{A}: V \rightarrow V$ 是 $n$ 维 $K$－向量空间 $V$ 上的线性算子（线性变换），$\mu_{\mathcal{A}}(x), \chi_{\mathcal{A}}(x) \in K[x]$ 分别是 $\mathcal{A}$ 的极小多项式和特征多项式．证明：
（1）存在 $\alpha \in V$ 使 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ ，其中 $\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 是集合

$$
\{f(x) \in K[x] \mid f(\mathcal{A})(\alpha)=0\}
$$


中首项系数为 1 ，次数最小的多项式；
（2）$K[\mathcal{A}] \cdot \alpha:=\{f(\mathcal{A})(\alpha) \mid \forall f(x) \in K[x]\}$ 是 $\operatorname{deg} \mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 维 $\mathcal{A}$－不变子空间；
（3）设 $\mathcal{B}: V \rightarrow V$ 是任意线性算子．若 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\chi_{\mathcal{A}}(x)$ ，则

$$
\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}=\mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \Longleftrightarrow \text { 存在 } f(x) \in K[x] \text { 使 } \mathcal{B}=f(\mathcal{A}) \text {. }
$$

设 $f \in C[0,1] \cap C^2(0,1), \sup _{x \in(0,1)} f^{\prime \prime}(x)=2$ ．证明：存在唯一的二次多项式 $P(x)=x^2+b x+c$ ，使得 $P(0)-f(0)=P(1)-f(1)=0$ ，且下列结论之一成立：
（1）$f(x)>P(x)(\forall x \in(0,1))$ ；
（2）$f(x)=P(x)(\forall x \in[0,1])$ ．

设 $\mathcal{A}$ 为正整数集 $\mathbb{Z}_{+}$的子集， $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(0,1)}{n}$ 存在，记为 $p$ ，其中对于 $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1, S_n(a, b)$ 表示集合 $\{k \in \mathcal{A} \mid a n \leqslant k \leqslant b n\}$ 的元素个数．
（1）若 $0 < a < b < 1$ ，证明极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(a, b)}{n}$ 存在并求其值．
（2）若 $f$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k \leqslant n, k \in \mathcal{A}} f\left(\frac{k}{n}\right)=p \int_0^1 f(x) d x
$$