解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{x \cos ^4 \frac{x}{2}}{\sin ^3 x} \mathrm{~d} x$.
设 $D$ 是由 $x$ 轴， $y$ 轴和直线 $x+y=2$ 所围成的区域，计算
$$
I=\iint_D e^{\frac{y-x}{y+x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
设函数 $f(x)$ 是一个非负的连续函数，且满足方程
$$
f(x) f(-x)=1, x \in(-\infty,+\infty)
$$
计算积分 $I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+f(x)} \mathrm{d} x$.
设 $\forall x \in(-\infty, \infty), f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 且 $0 \leq f(x) \leq 1-e^{-x^2}$ ， 求 $f(x)$.
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^n \cdot \sqrt{n}}{n!e^n}$.
若函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续且单调增加，证明:
$$
\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
证明: 当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\frac{1}{n \ln n}-\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2 \ln k}$ 与 $\frac{1}{n(\ln n)^2}$是等价无穷小.
证明级数 $\lim _{\substack{n \rightarrow \infty \\ m \rightarrow \infty}} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n(-1)^{i+j} \frac{1}{i+j}=\ln 2-\frac{1}{2}$.
设 $F(x, y, z)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中有连续的一阶偏导数 $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}, \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}$, $\frac{\partial F}{\partial z} ，$ 并满足不等式
$$
y \frac{\partial F}{\partial x}-x \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z} \geq \alpha>0, \forall(x, y, z) \in \mathbb{R}^3
$$
其中 $\alpha$ 是常数. 试证明当 $(x, y, z)$ 沿着曲线
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\Gamma: x=-\cos t, y=\sin t, z=t, t \geq 0
$$
趋向无穷远时， $F(x, y, z)$ 也趋向无穷大.
设 $x>-1$ 时，可微函数 $f(x)$ 满足条件
$$
f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{x+1} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=0
$$
且 $f(0)=1$. 证明: 当 $x \geq 0$ 时， $e^{-x} \leq f(x) \leq 1$