单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 是相互独立的随机变量序列，$X_n$ 服从参数为 $n(n \geqslant 1)$ 的指数分布，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是
$\text{A.}$ $X_1, \frac{1}{2} X_2, \cdots, \frac{1}{n} X_n, \cdots$
$\text{B.}$ $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$
$\text{C.}$ $X_1, 2 X_2, \cdots, n X_n, \cdots$
$\text{D.}$ $X_1, 2^2 X_2, \cdots, n^2 X_n, \cdots$
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $X_1$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}1-|x|, & |x| < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ ，则根据列维 - 林德伯格定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n()$ ．
$\text{A.}$ 有相同的期望和方差
$\text{B.}$ 服从同一离散型分布
$\text{C.}$ 服从同一指数分布
$\text{D.}$ 服从同一连续型分布
设 $X_n$ 表示将一枚硬币随意投郑 $n$ 次出现＂正面＂的次数，则（ ）。
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 为独立同分布随机变量序列，且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$ 的指数分布，记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则（ ）。
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{\lambda n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其 中 $P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$ ． $\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05 ．现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验，以 $X$ 表示＂不能承受试验而烧毁的元件数＂，则根据中心极限定理，$P\{5 \leqslant X \leqslant 10\} \approx$
将一枚骰子重复掷 $n$ 次，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$n$ 次掷出点数的算术平均值 $\bar{X}_n$ 依概率收敛于
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
生产线生产的产品成箱包装，每箱质量是随机的．假设平均每箱重 50 千克，标准差为 5 千克，若用载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆汽车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于 $0.977 .(\Phi(2)=0.977)$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
假设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，已知 $E\left(X^k\right)=\alpha_k(k=1,2,3,4)$ ．证明：当 $n$ 充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布，并指出其分布参数．