解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}-1 & 1 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & -1 \\ 3 & 5 & -1 & 1 \\ 5 & -1 & 1 & 3\end{array}\right|$ ．
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]^{ T }, \alpha_2=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & -1\end{array}\right]^{ T }$ ， $\alpha_3=\left[\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 1 \end{array}\right]^{T}$, $ \alpha_4=\left[\begin{array}{llll} 2 & 7 & 3 & a-2\end{array}\right]^{T}$ $\beta=\left[\begin{array}{llll}3 & 8 & 4 & b-1\end{array}\right]^{ T }$ ，讨论 $a, b$ 为何值时 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 唯一线性表示；能线性表示但不唯一；不能线性表示．
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right]^{ T }, \alpha_2=\left[\begin{array}{lll}-1 & 0 & 1\end{array}\right]^{ T }, \alpha_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2\end{array}\right]^{ T }$ ， $\alpha_4=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right]^{ T }$ ，求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．
已知二阶方阵 $A$ 的两个特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ，其对应的特征向量分别为 $x_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right], x_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right]$ ，试求 $A^{2014}$ ．
已知平面 $\pi: x+2 y+3 z-7=0$ 上的直线 $L$ 过点 $A(0,2,1)$ ，且与直线 $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{0}$ 垂直，求直线 $L$ 的方程．
已知二次型为
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3,
$$
（1）用正交变换 $x=P y$ 将二次型化为标准型，并求出正交矩阵 $P$ ；
（2）说明方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 在几何上表示什么图形．
设 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 为三阶方阵 $A$ 的三个不同特征值，对应特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ，令 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，求证向量组 $\beta, A \beta, A^2 \beta$线性无关．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $A$ 为正定矩阵，求证 $A^*$ 也为正定矩阵．