解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a>0, b>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^n+b^n\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，其中 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}, n \in N _{+}$．
根据无穷大量的定义证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^3+n-7}{n+3}=+\infty$ ．
设 $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}, n \in N _{+}$，证明数列 $\left\{S_n\right\}$ 发散．
设 $x_1=\frac{c}{2}, x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_n^2}{2}, n \in N _{+}$，证明：若 $c>1$ ，则 $\left\{x_n\right\}$发散．
用单调有界数列的收敛定理，证明 $\left\{\frac{n^5}{2^n}\right\}$ 收敛，并求其极限．
研究数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 是否单调，并求出该数列的极限．
设 $a_n=\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2 n}, n \in N _{+}$．证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛．
给定两个正数 $a$ 和 $b$ ，且有 $0 < b < a$ ．令 $a_0=a, b_0=b$ ，并按照递推公式
$$
a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}, n \in N _{+}
$$
定义数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ．证明这两个数列收敛于同一个极限．
求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，其中 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}, n \in N _{+}$．
设 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}, n \in N _{+}$，求 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，
设 $a_1>0, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}, n \in N _{+}$，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{\sqrt{2 n}}=1$ ．
记 $\varepsilon_n= e -\left(1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$ ，证： $\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_n(n+1)!=1$ ．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}= e$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ ．
设 $a_1=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}, n \in N _{+}$．讨论数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性，若收敛则求出其极限．（本题的另一种形式是求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}_{n \text { 重 }}$ ，这时的第一步就是将数列写成递推形式．）