填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^1 \ln \left(1+x^2\right) d x=$
设 $D: x^2+y^2 \leq r^2(r>0)$ ，则 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_D\left( e ^{x^2+y^2}-1\right) d x d y}{r^4}=$
已知 $z=f\left(x y, e ^{x+y}\right)$ ，且 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z-1=0$ 上的投影直线 $L_0$的单位方向向量为
设 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=9$ ，取逆时针方向，则第二型曲线积分
$$
\int_L \frac{-y}{4 x^2+y^2} d x+\frac{x}{4 x^2+y^2} d y=
$$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $\left(x^3-y^2\right) d x+\left(x^2 y+x y\right) d y=0$ 的通解．
设函数 $f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}, & 0 < x \leq 1, \\ k, & x=0 .\end{cases}$
（1）求常数 $k$ 的值，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续；
（2）对（1）中 $k$ 的值，求函数 $f(x)$ 的最小值 $\lambda$ 与最大值 $\mu$ ．
设 $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2(z \geq 0)$ ，方向取上侧，计算
$$
I=\iint_S\left(x^2-x\right) d y d z+\left(y^2-y\right) d z d x+\left(z^2-z\right) d x d y .
$$
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数的非负函数，且存在 $M>0$ ，使得对任意的 $x, y \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)-f^{\prime}(y)\right| \leq M|x-y|$ ．证明：对于任意实数 $x$ ，恒有 $\left[f^{\prime}(x)\right]^2 \leq 2 M f(x)$ ．
证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n^2+k^2}$ 收敛，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。