解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)>0$ ，证明：方程 $f(x)=0$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个实根。
证明：方程 $4 a x^3+3 b x^2+2 c x=a+b+c$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根．
判别方程 $\ln x=\frac{x}{ e }-\int_0^\pi \sqrt{1-\cos 2 x} d x$ 在 $(0,+\infty)$ 内实根的个数．
证明 $\ln x= e ^x-2 \sqrt{2}$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且仅有两个实根．
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，$f_{+}(1)=2$ ，在 $(1,+\infty)$ 内 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f_{+}^{\prime}(1)=-3$ ．证明方程 $f(x)=0$ 在 $(1,+\infty)$ 内有且仅有一个实根。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 可导， $0 < f(x) < 1$ ，且 $f^{\prime}(x) \neq 1$ ．证明方程 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。
设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足关系式 $a_1-\frac{a_2}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{a_n}{2 n-1}=0$ ，证明：$a_1 \cos x+a_2 \cos 3 x+\cdots+$ $a_n \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．