单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 为二阶线性非齐次方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的三个线性无关解，$C_1, C_2$ 为两个任意常数，则该方程的通解
$\text{A.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+y_3(x)$
$\text{B.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)-\left(C_1+C_2\right) y_3(x)$
$\text{C.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)-\left(1-C_1-C_2\right) y_3(x)$
$\text{D.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\left(1-C_1-C_2\right) y_3(x)$
设 $y_1= e ^{-x}, y_2=2 x e ^{-x}, y_3=3 e ^x$ 是三阶常系数线性齐次方程的解，则该方程为
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
设 $y=f(x)$ 为方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解，$f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则 $f(x)$ 在
$\text{A.}$ $x=x_0$ 的邻域内单增
$\text{B.}$ $x=x_0$ 的邻域内单减
$\text{C.}$ 在 $x=x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ 在 $x=x_0$ 处取极小值
设线性无关的函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的解，$C_1, C_2$ 为任意常数，则该非齐次方程的通解是
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+C_3 y_3$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ ；
$y^{\prime \prime}=\frac{1+y^{\prime 2}}{2 y}$ ；
$y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=y^2 \ln y$ ；
$(x+1) y^{\prime \prime}+y^{\prime}=\ln (x+1)$ ；
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 y y^{\prime \prime}=y^{\prime 2}+y^2 \\
y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1
\end{array} .\right.
$$
设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，而 $z=f\left( e ^x \sin y\right)$ 满足方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=z e ^{2 x}$ ，试求 $f(u)$ ．
$ y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y= e ^{-2 x}$ ，求 $y^{\circ}$
$y^{\prime \prime}+4 y=\cos 2 x$ ，求 $y^{\circ}$ ．
$ y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=\sin 2 x$ ，求 $y^{\circ}$ ．
已知 $y_1=x e ^x+ e ^{2 x}, y_2=x e ^x- e ^{-x}, y_3=x e ^x+ e ^{2 x}+ e ^{-x}$ 为某二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程．
若 $y= e ^{2 x}+(x+1) e ^x$ 是方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e ^x$ 的解，求 $a, b, c$ 及该方程的通解．
求方程 $y^{\prime \prime}+a^2 y=\sin x$ 的通解，其中常数 $a>0$ ．
求方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}- e ^{2 x}=0$ 满足 $y(0)=y^{\prime}(0)=1$ 的解．
设 $y_1=x, y_2=x+ e ^{2 x}, y_3=x\left(1+ e ^{2 x}\right)$ 为二阶常系数线性非齐次方程的三个特（1）解，（1）求该方程的通解；（2）方程本身的形式．
设 $x>0$ ，微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x+2$ 的通解为