填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ -a & -1 & a-1 \\ 3 & 1 & -2\end{array}\right]$ 的秩为 2 ，则 $a=$
已知 $A, B, C, D, H$ 为 $n$ 阶实矩阵，$I$ 是同阶单位矩阵，且 $A B C D H=I$ ，则 $C^{-1}=$
已知 $A$ 是 3 阶方阵，$I$ 是同阶单位矩阵，且 $|A-I|=0,|A+I|=0,|I-2 A|=0$ ，则 $\left|2 A^2+2 A-I\right|=-1.5$
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n(n \geq 2)$ 中，每个向量都能被其余向量线性表出是其向量组相关的
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & -2 & -2\end{array}\right|$ ，求 $M_{21}+M_{22}+M_{23}+M_{24}$ ，其中 $M_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的余子式。
已知向量 $\alpha=(1,-1,2)^T, \beta=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-1\right)^T$ ，记 $A=\alpha \beta^T$ ，求 $A^{2021}$ 。
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 4\end{array}\right)$ 满足 $A X B=B X B+I$ ，其中 $I$ 是 3 阶单位矩阵，求 $X$ 。
求向量组 $\alpha_1=(1,1,2,0)^T, \alpha_2=(-2,-1,-2,2)^T, \alpha_3=(3,4,4,-4)^T, \alpha_1=(-1,-1,0,3)^T$ 的秩以及一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量
判断线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2+3 x_3+2 x_4=1 \\
x_1+2 x_2+4 x_3+5 x_4=2 \\
2 x_1+4 x_2+a x_3+x_4=1 \\
-x_1-2 x_2-3 x_3+7 x_4=8
\end{array}\right.$ 何时无解？何时有解？并在有无穷多组解时求出其通解。
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -b \\ -2 & -b & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 相似，求 $a, b$ 的值以及 $A$ 的全部的特征向量。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2+5 A+6 I=0$ ，证明 $A-2 I$ 可逆，并求出其逆矩阵（用 $A$ 的多项式表示）．
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，证明 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_4, \alpha_4+t \alpha_1$ 线性相关的充分必要条件是 $t=1$