单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的导函数为（ ）；
$\text{A.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i u_y$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(z)=u_x-i u_y$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i v_y$ ；
$\text{D.}$ $f^{\prime}(z)=u_y+i v_x$ ．
$C$ 是正向圆周 $|z|=3$ ，如果函数 $f(z)=(\quad)$ ，则 $\oint_C f(z) d z=0$ ．
$\text{A.}$ $\frac{3}{z-2}$ ；
$\text{B.}$ $\frac{3(z-1)}{z-2}$ ；
$\text{C.}$ $\frac{3(z-1)}{(z-2)^2}$ ；
$\text{D.}$ $\frac{3}{(z-2)^2}$ ．
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z=2$ 点收敛，则级数在
$\text{A.}$ $z=-2$ 点条件收敛；
$\text{B.}$ $z=2 i$ 点绝对收敛；
$\text{C.}$ $z=1+i$ 点绝对收敛；
$\text{D.}$ $z=1+2 i$ 点一定发散．
下列结论正确的是（ ）
$\text{A.}$ 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 点一定解析；
$\text{B.}$ 如果 $f(z)$ 在 C 所围成的区域内解析，则 $\oint_C f(z) d z=0$
$\text{C.}$ 如果 $\oint_C f(z) d z=0$ ，则函数 $f(z)$ 在 C 所围成的区域内一定解析；
$\text{D.}$ 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域内解析的充分必要条件是 $u(x, y) 、 v(x, y)$ 在该区域内均为调和函数．
下列结论不正确的是（ ）。
$\text{A.}$ $\infty$ 为 $\sin \frac{1}{z}$ 的可去奇点；
$\text{B.}$ $\infty$ 为 $\sin z$ 的本性奇点；
$\text{C.}$ $\infty$ 为 $\frac{1}{\sin \frac{1}{z}}$ 的孤立奇点；
$\text{D.}$ $\infty$ 为 $\frac{1}{\sin z}$ 的孤立奇点．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\frac{1-i \sqrt{3}}{2}$ 的幅角是
$\operatorname{Ln}(-1+i)$ 的主值是
$f(z)=\frac{1}{1+z^2}, f^{(5)}(0)=$
$z=0$ 是 $\frac{z-\sin z}{z^4}$ 的 ________ 极点
$f(z)=\frac{1}{z}$ ，$\operatorname{Res}[f(z), \infty]=(\quad) $
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(z)=x^2+a x y+b y^2+i\left(c x^2+d x y+y^2\right)$ 是解析函数，求 $a, b, c, d$ ．
计算 $ \oint_C \frac{e^z}{z(z-1)^2} d z$ 其中 $C $是正向圆周$|z|=2$
计算 $\oint_{|z|=3} \frac{z^{15}}{\left(1+z^2\right)^2\left(2+z^4\right)^3} d z$
函数 $f(z)=\frac{z\left(z^2-1\right)(z+2)^3(z-3)^2}{(\sin \pi z)^3}$ 在扩充复平面上有什么类型的奇点？ ，如果有极点，请指出它的级．
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$ 在以下区域内展开成罗朗级数
（1） $0 < |z-1| < 1$ ，（2） $0 < |z| < 1$ ，（3） $1 < |z| < \infty$
用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+4 y(x)=e^{-x} \\
y(0)=y^{\prime}(0)=1
\end{array}\right.
$$
求$f(t)=e^{-\beta|t|}(\beta>0$的傅里叶变换，并证明
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\cos \omega t}{\beta^2+\omega^2} d \omega=\frac{\pi}{2 \beta} e^{-\beta|t|}
$$