单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
例 5 设 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则矩阵 $A$ 与 $B \quad(\quad)$
$\text{A.}$ 既合同又相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 相似但不合同
$\text{D.}$ 既不合同又不相似
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
写出三元二次型 $f x_1, x_2, x_3=2 x_1{ }^2+2 x_2{ }^2+2 x_3{ }^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ 的二次型矩阵
$A$ ，并求 $r A$ ．
例7设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是 $\qquad$ ．
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用正交变换法化二次型 $f x_1, x_2, x_3=2 x_1{ }^2+5 x_2{ }^2+5 x_3{ }^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 为标准形．
设二次型 $f x_1, x_2, x_3=x^T A x=a x_1{ }^2+2 x_2{ }^2-2 x_3{ }^2+2 b x_1 x_3, b>0$ ，其中 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 。
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）用正交变换化 $f x_1, x_2, x_3= x ^T A x$ 为标准形．
用配方法化下列二次型为标准形
（1）$f x_1, x_2, x_3=x_1^2+2 x_2^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ ；
（2）$f x_1, x_2, x_3=x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3$ ．