解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $F \subset \mathbb{R}^1$ ．为闭集．试构造 $\mathbb{R}^1$ 上单调增的函数 $f(x)$ ，使得 $f \in C^1\left(\mathbb{R}^1\right)$（即 $f$ 为 $\mathbb{R}^1$上的连续可导函数），且
$$
F=\left\{x \in \mathbb{R}^1 \mid f^{\prime}(x)=0\right\}
$$
设 $f: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数．证明：$f$ 不为连续函数．
设 $(X, d)$ 为紧致度量空间 $\left(\right.$ 如 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭集 $\left.X\right),\left\{f_m\right\}$ 为 $X$ 上的连续函数序列，$f$ 为 $X$ 上的连续函数．它们满足：
（1）$f_1(\boldsymbol{x}) \geqslant f_2(\boldsymbol{x}) \geqslant \cdots, \forall \boldsymbol{x} \in X ;$
（2） $\lim _{m \rightarrow+\infty} f_{m^*}(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}), \forall \boldsymbol{x} \in X$ ．
设 $A, B$ 为 $\mathbb{R}^1$ 中的点集．试证明：
$$
(A \times B)^{\prime}=\left(\bar{A} \times B^{\prime}\right) \cup\left(A^{\prime} \times \bar{B}\right) .
$$