填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $y=x^2 \mathrm{e}^{\sin x}$ ，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
设平面过原点与点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+ 2 z-8=0$ 垂直，则此平面方程为
设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)+f(-x)=2$ ．求
$$
\int_{-1}^1\left(f(x)+x^2 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right) d x=
$$
设函数 $f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$f(2,0)=3, f_u^{\prime}(2,0)=5$ ，又设 $z= z(x, y)$ 是由方程 $x z=f(2 x-y, x y z)$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$
积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a, b$ 为常数，函数 $f(x, y)= a x^2+b y^2+1$ 在点 $(4,3)$ 处的所有方向导数中，沿方向 $\mathbf{I}= -4 i-3 j$ 的方向导数最大，最大值为 10 ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）求曲面 $z=f(x, y)$ 被平面 $z=0$ 所截下的有限部分的面积．
求由方程 $2 x^2+2 y^2+z^2+8 x z- z+8=0$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 的极值．
求微分方程 $y^{\prime} x \ln x \sin y+(1- x \cos y) \cos y=0$ 的通解．
（1）设函数 $f(x)=\sin ^2 x \sin 2 x$ ，讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性；
（2）判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中
$$
a_n=\sin ^2 x \sin ^2 2 x \ldots \sin ^2 2^n x, x \in(-\infty,+\infty)
$$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导数，记 $A=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ ．试证明：
$$
\int_a^b|f(x)-A|^2 \mathrm{~d} x \leqslant \frac{(a-b)^2}{2} \int_a^b\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x
$$