单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列命题或表达式正确的是
$\text{A.}$ $b \subset\{b\}$
$\text{B.}$ $\{2\}=2$
$\text{C.}$ 对于任意集合 $A, B$ ，有 $A \subset B$ 或 $B \subset A$
$\text{D.}$ $\phi \subset \phi$
下列命题不正确的是
$\text{A.}$ 若点集 $A$ 是无界集，则 $m^* A=+\infty$
$\text{B.}$ 若点集 $E$ 是有界集，则 $m^* E < +\infty$
$\text{C.}$ 可数点集的外测度为零
$\text{D.}$ 康托集 $P$ 的测度为零
下列表达式正确的
$\text{A.}$ $f^{+}(x)=\max \{-f(x), 0\}$
$\text{B.}$ $f(x)=f^{+}(x)+f^{-}(x)$
$\text{C.}$ $|f(x)|=f^{+}(x)-f^{-}(x)$
$\text{D.}$ $[f(x)]_n=\min \{f(x), n\}$
下列命题不正确的是
$\text{A.}$ 开集、闭集都是可测集
$\text{B.}$ 可测集都是 Borel 集
$\text{C.}$ 外测度为零的集是可测集
$\text{D.}$ $F_\sigma$ 型集，$G_\delta$ 型集都是可测集
下列集合基数为 $a$（可数集）的是
$\text{A.}$ 康托集 $P$
$\text{B.}$ $(0,1)$
$\text{C.}$ 设 $A \subset R^n, A=\left\{x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid x_i\right.$ 是整数，$i=1,2, \cdots, n\}$
$\text{D.}$ 区间 $(0,1)$ 中的无理数全体
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果 $\_\_\_\_$则称 $E$ 是自密集，如果 $\_\_\_\_$则称 $E$ 是开集，如果 $E^{\prime} \subset E$ 则称 $E$ 是 $\_\_\_\_$ ， $\bar{E}=E \bigcup E^{\prime}$ 称为 $E$ 的 $\_\_\_\_$ ．
设集合 $G$ 可表示为一列开集 $\left\{G_i\right\}$ 之交集：$G=\bigcap_{i=1}^{\infty} G_i$ ，则 $G$称为 $\_\_\_\_$ ．
若集合 $F$ 可表示为一列闭集 $\left\{F_i\right\}$ 之并集：$F=\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i$ ，则 $F$称为 $\_\_\_\_$ ．
（Fatou 引理）设 $\left\{f_n\right\}$ 是可测集 $E \subset R^q$ 上一列非负可测函数，则
设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的有限函数，如果对于 $[a, b]$ 的一切分划 $T: a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ ，使 $\left\{\sum_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\right\}$ 成一有界数集，则称 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 $\_\_\_\_$ ，并称这个数集的上确界为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的 $\_\_\_\_$ ，记为 $\_\_\_\_$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $E \subset R^{\prime}, f(x)$ 是 $E$ 上a．e．有限的可测函数，
证明：存在定义在 $R^{\prime}$ 上的一列连续函数 $\left\{g_n\right\}$ ，使得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} g_n(x)=f(x) \text { a.e. } \mathrm{F} E
$$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty}(R) \int_0^1 \frac{n x \sin {2007} n x}{1+n^2 x^2} e^{-\frac{\sin n x}{n}} d x=0$
设 $f(x)$ 是满足 Lipschitz 条件的函数，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ a．e．于 $[a, b]$ ，则 $f(x)$ 为增函数
设 $f$ 是 $[a, b]$ 上的有界变差函数，证明 $f^2$ 也是 $[a, b]$上的有界变差函数