解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a b c \neq 0$, 求下列行列式的值:
$$
|A|=\left|\begin{array}{lll}
a+b & a^{-1}+b^{-1} & (a+b)^2+\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2 \\
b+c & b^{-1}+c^{-1} & (b+c)^2+\left(b^{-1}+c^{-1}\right)^2 \\
c+a & c^{-1}+a^{-1} & (c+a)^2+\left(c^{-1}+a^{-1}\right)^2
\end{array}\right| .
$$
设 $n$ 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的第 $(i, j)$ 元素 $a_{i j}=\mathrm{C}_{n i}^j(1 \leq i, j \leq n)$, 试求 $|\boldsymbol{A}|$的值.
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{H}=\left(a_{i j}\right)$, 其中 $a_{i j}=\frac{1}{i+j-1}$, 称这样的矩阵为 $n$ 阶 Hilbert 矩阵. 求证: $\boldsymbol{H}^{-1}$ 是整数矩阵, 即 $\boldsymbol{H}^{-1}$ 的每个元素都是整数.
设 $n$ 阶三对角矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
2 a & 1 & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 2 a & 1 \\
& & & a^2 & 2 a
\end{array}\right),
$$
其中 $a \neq 0$. 请用初等变换法求 $\boldsymbol{A}^{-1}$.
设 $S=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^2 \mid a^2+b^2=1\right.$ 且 $\left.b \neq 1\right\}$, 定义映射 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$, $\varphi(a, b)=\frac{a}{1-b}$.
(1) 验证 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 是 个双射;
(2) 请在 $S$ 上定义加法 $\oplus$ 和数乘 $\circ$, 使 $(S, \oplus, \circ)$ 成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间, H $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 成为线性同构.
请用一元多项式的方法证明: 设 $A, B$ 为 $n$ 阶实方阵, 且存在 $n$ 阶非异复方阵 $Q$, 使得 $B=Q^{-1} A Q$, 则必存在 $n$ 阶非异实方阵 $P$, 使得 $B=P^{-1} A P$.
证明: 整系数多项式 $2 x^4-3 x^3+7 x^2+6 x-18$ 在有理数域上不可约.
设 $f(x)$ 是 $n$ 次整系数多项式, 且存在 $n+1$ 个不同的整数 $a_1, \cdots, a_{n+1}$,使得 $\left|f\left(a_i\right)\right|=1(1 \leq i \leq n+1)$. 证明: $f(x)$ 在有理数域上不可约.
设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵
证明: $\left|\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{A}+\cdots+\boldsymbol{A}^{n-1}\right|=(1-c)^{n-1}$, 其中 $c=c_1 c_2 \cdots c_n$.