单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 与矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a-b=0$.
$\text{B.}$ $a b=0$.
$\text{C.}$ $a+b=0$.
$\text{D.}$ $a, b$ 为任意常数.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right) ， C=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， A ， B ， C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A, B$ 不相似但合同.
$\text{B.}$ $B ， C$ 既相似又合同.
$\text{C.}$ $A, C$ 不相似但合同.
$\text{D.}$ $B, C$ 不相似但合同.
设 $A$ 是 3 阶矩阵， 0 是 $A$ 的单特征值， $\alpha$ 是满足 $A \alpha= 0$ 的非零向量. 若对满足 $\beta^{ T } \alpha=0$ 的 3维列向量 $\beta$ ，均有 $A ^2 \beta=\beta$ ，则（）
$\text{A.}$ $A ， A ^2$ 均能相似对角化.
$\text{B.}$ $A$ 不能相似对角化， $A ^2$ 能相似对角化.
$\text{C.}$ $A$ 能相似对角化， $A ^2$ 不能相似对角化.
$\text{D.}$ $A ， A ^2$ 均不能相似对角化.
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵。若矩阵 $B=\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 表示任意常数, 则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解 $x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$;
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$;
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$;
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$ 。
设 $A$ 为齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+t x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+t x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵, 若有三阶方阵 $B \neq 0$, 且 $A B=0$, 则
$\text{A.}$ $t=-2$, 且 $|B|=0$
$\text{B.}$ $t=-2$, 且 $|B| \neq 0$
$\text{C.}$ $t=1$, 且 $|B|=0$
$\text{D.}$ $t=1$, 且 $|B| \neq 0$
设矩阵 $A$ 的秩为 r ，则 $A$ 中（ ）
$\text{A.}$ 所有 $r -1$ 阶子式都不为 0
$\text{B.}$ 所有 $r -1$ 阶子式全为 0
$\text{C.}$ 至少有一个 r 阶子式不等于 0
$\text{D.}$ 所有 r 阶子式都不为 0
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $m < n, r( A )=m$, 以下选项中错误的是
$\text{A.}$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$, 使得 $A Q =\left( E _m: O \right)$.
$\text{B.}$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$, 使得 $P A =\left( E _m: O \right)$.
$\text{C.}$ 齐次线性方程组 $A x =0$ 有零解。
$\text{D.}$ 非齐次线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解.
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m（m>1）$ 线性相关，则任一向量 $\alpha_i(1 \leq i \leq m)$ 可由其余向量线性表出.
$\text{B.}$ 若 有 不 全 为 0 的 数 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m \quad(m>1)$ ，使 $i_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2+\cdots+\lambda_m \alpha_m+\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots+\lambda_m \beta_m=o$ 成立，则向量组 $\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性相关，向量组 $\beta _1, \beta _2, \ldots, \beta _m$ 亦线性相关.
$\text{C.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m( m >1)$ 中任意两个向量线性无关，则 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
$\text{D.}$ 若向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m(m>1)$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出，则晌量组 $\alpha _1, \alpha , \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
设二次型 $f(x, y, z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$, 其对应的对称矩阵为 $A$. 在自然基 $e_1, e_2$, $e _3$ 下, 二次曲面 $S$ 的曲面方程为 $f(x, y, z)=3$ 。该曲面方程在正交变换 $\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)= Q \left(\begin{array}{l}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ 下化为 $\lambda_1 u^2+\lambda_2 v^2+\lambda_3 w^2=3$, 其中 $\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \lambda_3$. 该变换将 $e _1, e _2, e _3$ 分别变为 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$. 下列命题中,正确的是（）
$\text{A.}$ $\left( e _1, e _2, e _3\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) Q$.
$\text{B.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^{ T }$.
$\text{C.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)^{ T }$.
$\text{D.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{ T }$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left|\begin{array}{cc}
1 & \log _a a \\
\log _a b & 1
\end{array}\right|$
设 n 元齐次线性方程组 $A X =0$ ，则 $R ( A ) < n$ 是该方程组有非零解的 $\qquad$条件
设向量 $(2,-3,5)$ 与向量 $(-4,6, a)$ 线性相关，则 $a=$
计算 $\left|\begin{array}{lll}
0 & a & 0 \\
b & 0 & c \\
0 & d & 0
\end{array}\right|$
问当 $a, b$ 取何值时, 齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y+z=0, \\ x+b y+z=0, \\ x+2 b y+z=0\end{array}\right.$ 只有零解?
已知实二次型 $f\left(x_1 x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_2 x_3$ 正定, 则常数 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求矩阵的特征值与特征向量 $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right], b =\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]$. 求方程组 $A x = b$ 的全部解.
设 $A$ 为列满秩矩阵, $A B=C$, 证明方程 $B x=0$ 与 $C x=0$ 同解.
设矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{array}\right], \quad B =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
（1）当 $a$ 为何值时，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价；
（2）当 $A$ 和 $B$ 等价时，求一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ ．
已知任意一个 $n$ 维向量均为齐次线性方程组
（I）$\left\{\begin{array}{rc}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n & =0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n & =0 \\ & \vdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n & =0\end{array}\right.$
的解，证明这个方程组的系数全为 0 ．
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.