【33900】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 单选题 已知直线 $l$ 过点 $(2,-2)$ 和 $(-3,2)$ ，则直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为

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【33899】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 证明题 证明：不存在 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{B}^2$ 。

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【33898】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 证明：任一 $n$ 阶方阵可以表示成一个数量矩阵（具有 $k \boldsymbol{I}$ 形式的矩阵）与一个迹为零的矩阵之和。（矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的迹是指 $\operatorname{tr} \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^n a_{i i}$ ）

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【33897】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 设 $$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] $$ 1． $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 等价？ 2．在实数范围内， $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 合同？ 3． $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 相似？（不需要说明理由）。

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【33896】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$ ，已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，但不唯一。 1．求 $a$ 的值； 2．求正交矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 为对角阵。

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【33895】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 讨论$\lambda$取何值时，方程组有解，并求 $$ \left\{\begin{array}{l} (1+\lambda) x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda^2 \end{array}\right. $$

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【33894】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 计算行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccccccc} 9 & 5 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 9 & 5 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 9 & 5 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 4 & 9 \end{array}\right|$

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【33893】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 证明题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，秩（ $\boldsymbol{A}$ ）$=r$ ，证明： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是存在 $r \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $n \times r$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}$ ，且 $\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{I}_r$ ，其中秩 $(\boldsymbol{B})=$ 秩 $(\boldsymbol{C})=r$ ， $\boldsymbol{I}_r$ 为 $r$ 阶单位阵。

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【33892】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & b & a \\ a & b & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0\end{array}\right]$ ，其中 $a, b$ 是实数，$a \neq 0, b \neq 0,|a| \neq|b|$ 。 1．求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值以及长度为 1 的特征向量。 2．当 $n$ 为正整数时，计算 $[1,0,0,0] \boldsymbol{A}^n[1,0,0,0]^{\mathrm{T}}$ 。

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【33891】 【 华中科技大学线性代数课程《线性代数》统考练习册】 解答题 已知二次型 $$ f=\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0) $$ 通过正交变换可化为标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ，求参数 $a$ 及所作的正交变换。

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