【33917】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 解答题 如图所示，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{C}_1$ 中， $\mathrm{AB} \perp \underline{\mathrm{AC}}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{CC}_1=1$ ， E 是线段 $\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$ 上的动点（不与点 $\mathrm{B}_1, \mathrm{C}_1$ 重合），且满足 $\overrightarrow{B_1 E}=\lambda \overrightarrow{B_1 C_1}$ ，实数 $\lambda \in(0,1)$ ． （1）当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，证明： $\mathrm{A} 1 \mathrm{E} \perp$ 平面 EBC ； （2）当 $\lambda=\frac{1}{3}$ 时，求二面角 $E-A_1 B-B_1$ 的余弦值； （3）求四面体 $\mathrm{EA}_1 \mathrm{BC}$ 的外接球半径的取值范围． [img=/uploads/2025-11/3efe8b.jpg][/img]

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【33916】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 解答题 如图所示实验装置，由矩形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 构成，且 $A B=4, A D=A F=$ 3．$\angle D A F=\frac{\pi}{3}$ ．活动点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别在对角线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AE}$ 上移动，且 $\mathrm{AN}=\mathrm{DM}$ ． 记 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{A F}=\boldsymbol{c}$ ，且 $\overrightarrow{D M}=\lambda \overrightarrow{D B}, \lambda \in[0,1]$ ． （1）用向量 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 表示 $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{M N}$ ． （2）$\lambda$ 为何值时，$|\overrightarrow{M N}|$ 最小，最小值是多少？ （3）当 $\lambda=\frac{2}{3}$ 时，证明： $\mathrm{MN} \perp$ 平面 ABCD ． [img=/uploads/2025-11/2a46be.jpg][/img]

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【33915】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 解答题 已知圆 C：$(x-a)^2+(y-b)^2=b^2(a>0, b>0)$ 与 y 轴交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$\angle A C B=120^{\circ}$ ，且 $|O C|=\sqrt{5}$ ． （1）求圆 $C$ 的标准方程； （2）若直线 $y=x+m$ 和直线 $y=x+n$ 将圆C 的周长四等分，求 $: m-n:$ 的值．

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【33914】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 解答题 已知椭圆 $\mathrm{F}_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2, E P(-3,0), Q(0, \sqrt{5})$ 两点在椭圆 E 上。 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 $\mathrm{M}(\mathrm{a} \cos \theta, \mathrm{b} \sin \theta), \mathrm{D}(1,1)$ ，证明：点 M 在椭圆上，并求 $\triangle D F_1 F_2$ 的周长．

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【33913】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 填空题 若过圆 $\mathrm{C}: x^2+y^2-6 x=0$ 内不同于圆心的点 P 恰好可以作 5 条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点 P 构成的区域的面积为

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【33912】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 填空题 若不同的两点 $A(a+1, b-1)$ 与 $B(b, a)$ 关于直线 1 对称，则 1 的倾斜角为

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【33911】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 填空题 已知空间向量 $\mathrm{a}=(2,1,0), \mathrm{b}=(2,-1, \sqrt{3})$ ，则 $: 2 a-b:=$

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【33910】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 多选题 在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 P 在棱 $\mathrm{BB}_1$ 上移动， $\mathrm{BP}=\mathrm{t}(0 \leqslant \mathrm{t} \leqslant 2)$ ．过点 P作平面 $\alpha$ 垂直于空间对角线 $\mathrm{AC}_1$ ，设平面 $\alpha$ 与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为 $G$ ，面积为 $S$ ，边数为 $N$ 。当 $t$ 从 0 到 2 连续变化时，下列说法正确的是

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【33909】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 多选题 已知直线 $1: \mathrm{x} \cos \theta+\mathrm{y} \sin \theta+1=0$ ，圆 $\left(\mathrm{C}:(x-\cos \theta)^2+(y-\sin \theta)^2=1\right.$ ，其中 $\theta \in[0, \pi]$ ，则下列说法正确的是

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【33908】 【 皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题】 多选题 已知曲线 $\mathrm{C}: x^2+\frac{y^2}{m}=1$ ，则下列结论正确的有

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