单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f( x , y)-x^k y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$, 则
$\text{A.}$ $k=1$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{B.}$ $k=2$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $k=3$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $k=4$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
设函数 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且满足等式 $9 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$. 若变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-3 y, \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把上述等式化简为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=0$, 则常数 $a=$
$\text{A.}$ -3 .
$\text{B.}$ -2 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
设函数 $u=u(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 函数 $F(s, t)$ 具有一阶连续偏导数, 且 $\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)^2 \neq$ $0, F\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$, 则有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 且 $f^{\prime}(0)=0$, 则函数 $F(x, y)= e ^{-x^2} f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极 * 小值的一个充分条件为
$\text{A.}$ $f(0) < 0, f^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{B.}$ $f(0) < 0, f^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(0)>0, f^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{D.}$ $f(0)>0, f^{\prime \prime}(0)>0$.
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=\int_0^{x^2 y} f\left(t, e ^t\right) d t$, 其中 $f$ 一阶偏导连续, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设函数 $u(x), v(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $f(x, y)=u(x+2 y)+v(x-2 y)$, 且 $f(x, 0)=$ $\sin 2 x,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{y=0}=0$, 则 $u(x)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 $y=f(x)$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t)=t-\sin t, \\ y=y(t)=1-\cos t,\end{array}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi . P(x, y)\right.$ 是曲线 $y=f(x)$上的任一点, $0 < x < \pi$. 在点 $P$ 处作曲线的切线, 记该切线在 $x$ 轴上的截距为 $u(x)$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{u(x)}{x}$.
设 $z=z(x, y)$ 满足方程 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=(y-x) z$, 作变换
$$
u=x^2+y^2, v=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}, w=x+y-\ln z(x>0, y>0, z>0),
$$
已知 $w=w(u, v)$, 求原方程经过变换后化为 $u, v, w$ 所满足的微分方程.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=12$ 所确定的函数,求 $z=z(x, y)$的极值。
设 $u=f(x, y)$ 的所有二阶偏导数连续, 试将下列表达式转换为极坐标系中的形式.
(1) $\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2$;
(2) $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$.
求圆柱螺旋线 $x=R \cos t, y=R \sin t, z=k t$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$ 对应点处的切线方程和法平面方程.
求曲线 $x^2+y^2+z^2=6, x+y+z=0$ 在点 $P(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程.