单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 等价的是（ ）．
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零．若当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时，（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left( e ^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件：
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；
（3） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
（4） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件个数是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为（）．
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3 x^2+1}$ 的渐近线方程为
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left[\ln \frac{1}{n}+2 \ln \frac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \frac{n-1}{n}\right]=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $a=$
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ ，试确定其所有的间断点并判定其类型（第一类，第二类）．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-e^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3
$$
证明：$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，并求 $f^{\prime}(0)$ ．
求由 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=y(x)$ 的一阶，二阶导数 $y^{\prime}(x), y^{\prime \prime}(x)$
已知函数 $f(x)=\left( e ^x+1\right) x^2$ ，试求 $f(x)$ 的 $n$ 阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，并求 $f^{(5)}(0)$ ．
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} e ^{-x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成，$D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$ ，求 $V(t)$ 的最大值．
试求曲线 $y^2=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程．
试求微分方程 $(2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的特解．
计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$ ．
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$ ，试判断 $x=0$ 是它们的极值点？还是 $(0,0)$ 是它们描述的曲线的拐点？如果是极值点，是极大值点还是极小值点？
如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $y(x)$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛，试求 $a$ 的取值范围．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，满足 $\int_0^1 f(x) d x=\int_0^1 x f(x) d x=0$ ，证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恰好有两个零点．