设齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n-1,1} x_1+a_{n-2,2} x_2+\cdots+a_{n-1, n} x_n=0\end{array}\right.$

证明：$X _0=\left(x_{1_o}, x_{2_o}, \cdots, X_{n_o}\right)^T$ 为该方程组的解，其中

$$
\begin{aligned}
& x_{1_o}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& x_{2_o}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& , \cdots, x_{n_o}=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$


且若 $X_0 \neq 0$ ，则方程组的任一解可以表示为 $k X_0$ ，其中 $k$ 为常数．

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量，又设 $B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^T & 0\end{array}\right)$ ．
证明：
（1）$n$ 为偶数．
（2）矩阵 $B$ 的秩 $r(B)=n$ ．

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n \times m$ 实矩阵．证明：如果 $r(B)=m$ ，则 $m$ 阶实方阵 $B^T A B$ 为正定矩阵。

证明：（1）若 $|A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式．
（2）若 $|A|=-1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $(-1)$ ．

设 $A, B, C, D$ 为具有相同特征多项式的三阶复方阵，证明： $A, B, C, D$ 中必有两个矩阵相似．

设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\sigma(W)$ 与 $\sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明：
（1） $\operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ．
（2）若 $W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $\operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma)$.