解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{\ln (1+t)}{t^2}\right)$ ．
已知 $n \in N$ ，求不定积分 $I_n=\int \tan ^n x d x$ 的递推公式．
求 $I_n=\int_0^{n \pi} \frac{\cos ^3 x}{2 \sin ^3 x+\cos ^4 x} d x$ ，其中 $n \in N _{+}$．
已知 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}$ ，证明： $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^2} d x$ 是否收敛，若收敛则证明，求其值．
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^2 n}{n^2}$ 敛散性．
求和函数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}$ ．
求 $x^2+y^2=a^2, y^2+z^2=a^2,(a>0)$ 所围成的立体体积．
求曲面 $z-e^z+2 x y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面及法线方程．
证明：若 $\left\{x_n\right\}$ 是有界的发散数列，则 $\left\{x_n\right\}$ 必存在两个收敛于不同极限的子列．
证明：若函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且
$$
f(a)=f(b)=K, f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)>0 .
$$
则在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=K$ ．
设 $u(x, y), v(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线 $L$ 为 $D$ 的正向边界曲线，证明：
（1） $\iint_D v \Delta u d x d y=-\iint_D(\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v) d x d y+\oint_L v \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} d s$ ．
（2） $\iint_D(u \Delta v-v \Delta u) d x d y=\oint_L\left(u \frac{\partial v}{\partial \vec{n}}-v \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right) d s$ ．
其中 $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ ，称为二维拉普拉斯算子；$\frac{\partial u}{\partial \vec{~}}, \frac{\partial v}{\partial \vec{n}}$ 分别表示 $u, v$ 沿 $L$的外法线向量 $\vec{n}$ 的方向导数，
若上半个金属环 $x^2+y^2=R^2,(y \geq 0)$ 上任何一点处的电荷的线密度等于该点到 $y$ 轴的距离的平方，求环上的总电量
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-\ln (1+x)}{x^3}=\frac{1}{3}
$$
求 $f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ ．
求 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha^2 x^2} \cos (2 y x) d x$ ，其中 $\alpha>0$ ，