单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ，则必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{O}$ ；
$\text{D.}$ $(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的第二列乘以 2 为矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的 ________ 为 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{A.}$ 第二行乘以 2 ；
$\text{B.}$ 第二列乘以 2 ；
$\text{C.}$ 第二行乘以 $\frac{1}{2}$ ；
$\text{D.}$ 第二列乘以 $\frac{1}{2}$ ．
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $R(\boldsymbol{A})=2$ ，则 $R\left(\boldsymbol{A}^*\right)=$ ．
$\text{A.}$ 0 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ 2 ；
$\text{D.}$ 3 ．
设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示，则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 $A$ 必线性相关；
$\text{B.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 $B$ 必线性相关；
$\text{C.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 $A$ 必线性相关；
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 $B$ 必线性相关．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2), \boldsymbol{\beta}=(2,1), \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ ________ , $\boldsymbol{A}^n=$ ________
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=$ , $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{-1}=$
设 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & a\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{det}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=$ ________ , 当 $a=$ ________ 时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11\end{array}\right)$ ，则秩 $R(\boldsymbol{A})=$ ________ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数等于 ________
已知方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & y \\ -6 & 0 & 4\end{array}\right)$ 与对角矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x\end{array}\right)$ 相似，则 $x=$ ________ , $y=$ ________
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判断矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 可逆，并求其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{rrrrr}a & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a & b & 0 & 0 & 1 \\ -a & -b & c & 0 & 1 \\ -a & -b & -c & d & 1 \\ -a & -b & -c & -d & 1\end{array}\right|$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}\right), \boldsymbol{B}=\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}\right)$ ，且已知行列式 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}=1, \operatorname{det} \boldsymbol{B}=-2$ ，计算 $\operatorname{det}(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ．
确定 $a$ 的值使线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 x_1-x_2+x_3+x_4=1 \\ x_1+2 x_2-x_3+4 x_4=2 \\ x_1+7 x_2-4 x_3+11 x_4=a\end{array}\right.$ 有解，并求其解．
设 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 10 & 10 \\ 5 & 6 & 11 & 14\end{array}\right)$ ，问
（1）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 可否由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示？若可以，写出线性表示式；
（2）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 与向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是否等价？
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right),(1)$ 求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和特征向量；（2）计算 $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^{n+1}-5 \boldsymbol{A}^*$ 。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，$I$ 为 $n$ 阶单位矩阵，计算
$$
\left(\begin{array}{cc}
I & I \\
O & I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A & B \\
B & A
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & -I \\
O & I
\end{array}\right)
$$
并由此证明 $\left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B| \cdot|A-B|$
设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 正交，证明 $\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|^2=\|\boldsymbol{a}\|^2+\|\boldsymbol{b}\|^2$ ．