单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^x-x^2}{e^x+x^2}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 0
当 $x \rightarrow 0$ 时，$x-\sin (a x)$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小，则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)$ 为不恒为零的奇函数，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则函数 $F(x)=\frac{f(x)}{x}(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 在 $x \rightarrow 0$ 时极限不存在
$\text{B.}$ 有跳跃间断点 $x=0$
$\text{C.}$ 有可去间断点 $x=0$
$\text{D.}$ 没有间断点
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，在 $(a, b)$ 内可导，则（ ）
$\text{A.}$ 当 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=0$
$\text{B.}$ $\forall \xi \in(a, b)$ ，有 $\lim _{x \rightarrow \xi}[f(x)-f(\xi)]=0$
$\text{C.}$ 当 $f(a)=f(b)$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$
$\text{D.}$ 存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x \leq 0 \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}, & x>0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处 () ．
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
若 $y=\sin f\left(x^2\right), f(u)$ 一阶可导，则 $d y=()$
$\text{A.}$ $\cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{B.}$ $f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{C.}$ $2 x f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{D.}$ $2 x^2 f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
设 $f(x)=x^3-3 x^2-9 x+2$ ，则
$\text{A.}$ $x=1$ 为 $f(x)$ 的零点
$\text{B.}$ $x=1$ 为 $f(x)$ 的极小值点
$\text{C.}$ $x=1$ 的对应点为 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=1$ 为 $f(x)$ 的极大值点
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y+x e^y=\ln 5$ 所确定，则 $y^{\prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -5
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ $-\frac{1}{5}$
下列式子中，正确的式子个数是（ ）．
（1） $\int \tan x d x=\ln |\cos x|+C$ ，
（2） $\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C$ ，
（3） $\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$ ，
（4） $\int \csc x d x=\ln |\csc x-\cot x|+C$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$\int_{-1}^1 \frac{x^2 \arctan x+1}{1+x^2} d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $1+\pi$
$\text{B.}$ $1+\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
设 $\int f(x) \sin x d x=\sin x+C$ ，则 $\int f(x) \tan x d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\tan x+C$
$\text{B.}$ $\cot x+C$
$\text{C.}$ $\ln |\sec x|+C$
$\text{D.}$ $x+C$
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数，则下列四个式子中错误的是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d x=f(t)$
$\text{B.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(x) d x=f(x)$
$\text{C.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d t=f(x)$
$\text{D.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(x) d t=f(x)$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} \cdot x\right)$ ，则 $\int_0^2 f(x) d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
悬链线 $y=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)(-1 \leq x \leq 1)$ 的弧长是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}\left(e-e^{-1}\right)$
$\text{B.}$ $e-e^{-1}$
$\text{C.}$ $2\left(e-e^{-1}\right)$
$\text{D.}$ $4\left(e-e^{-1}\right)$
下列反常积分中收敛的是（ ）．
$\text{A.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}$
$\text{B.}$ $\int_1^2 \frac{d x}{(x-1)^3}$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{d x}{x(x+1)}$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{d x}{x(x+1)}$
方程 $\left(x y+y^2\right) d x+x d y=0$ 的类型为 () 。
$\text{A.}$ 可分离变量微分方程
$\text{B.}$ 一阶线性微分方程
$\text{C.}$ 齐次微分方程
$\text{D.}$ 伯努利微分方程
若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且满足关系式 $f(x)=\int_0^x f(x-t) d t+1$ ，
则 $f(x)=$
$\text{A.}$ $e^x$
$\text{B.}$ $e^x+1$
$\text{C.}$ $e^{-x}$
$\text{D.}$ $e^{-x C_{+}} 1$
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$（其中 $p(x), q(x), f(x)$ 为连续函数）有三个互不相等的特解 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ ，则函数 $y=C_1 y_1+C_2 y_2+ \left(1-C_1-C_2\right) y_3\left(C_1, C_2\right.$ 是两个任意常数 $)()$.
$\text{A.}$ 是该方程的通解
$\text{B.}$ 不是该方程的解
$\text{C.}$ 是该方程的特解
$\text{D.}$ 可能是该方程的通解，但一定不是特解
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x+\sin x$ 的特解可设为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $a x+b \sin x$
$\text{B.}$ $a x+b+m x \cos x+n x \sin x$
$\text{C.}$ $a x+b+e^x(m \cos x+n \sin x)$
$\text{D.}$ $a x+b+x e^x(m \cos x+n \sin x)$
微分方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足初始条件 $y(1)=1$ 的特解是
$\text{A.}$ $y=\frac{1}{3} x \ln x-\frac{1}{3} x+\frac{4}{3 x^2}$
$\text{B.}$ $y=\frac{1}{3} x \ln x-\frac{1}{9} x+\frac{10}{9 x^2}$
$\text{C.}$ $y=-2 x^3 \ln x-x^3$
$\text{D.}$ $y=-2 x^3 \ln x+x^3$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{(1+x)^{\sin x}-1}$ ．
计算定积分 $\int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{x e^x}{\sqrt{e^x-1}} d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=x e^{3 x}$ 的通解．
在曲线 $y=x^2(x \geq 0)$ 上某点 $M\left(a, a^2\right)$ 处作一条切线 $L$ ，使 $L$ 与曲线及 $x$ 轴所围成平面图形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，试求：（1）$a$ 的值；（2）由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数，$f(0) \neq 0$ ．如果 $F(x)=\int_0^x e^t f(t) d t$不是单调函数，试证明：存在两个不同的点 $a, b$ 使得 $a f(b)+f(a)=0$ ．