解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
Riemann 函数
$$
\begin{aligned}
& R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \\
& R(x)= \begin{cases}\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p} \in \mathbb{Q}, q \in Z, p \in \mathrm{~N}, p \text { 与 } q \text { 无大于 } 1 \text { 的公因子, } \\
0, & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{cases}
\end{aligned}
$$
在所有有理点处不连续，而在所有无理点处连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} R(x)=0, \quad x_0 \in \mathbb{R}
$$
证明：不存在满足下列条件的函数 $f(x, y)$ ：
（1）$f(x, y)$ 为 $\mathrm{R}^2$ 上的连续函数；
（2）偏导数 $\frac{\partial}{\partial x} f(x, y), \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ 在 $\mathrm{R}^2$ 上处处有限；
（3）$f(x, y)$ 在 $\mathrm{R}^2$ 的任一点处都不可微．
证明： $\mathbb{R}^n$ 中的可数稠密集 $E$ 不为 $G_\delta$ 集．但它是 $F_\sigma$ 集．
设 $F \subset \mathbb{R}^n$ 为至多可数的非空闭集．证明：$F$ 必含孤立点．
证明：点 $x=\frac{1}{4}, \frac{1}{13}$ 属于 Cantor 疏朗集 $C$ ．
设 $C$ 为 $[0,1]$ 中的 Cantor 疏朗集．证明：
$$
C+C=\{x+y \mid x \in C, y \in C\}=[0,2] .
$$
设 $E \subset \mathbb{R}^3$ ，且对 $\forall x, y \in E$ ，距离 $\rho_0^3(x, y) \in Q$ ．证明：$E$ 为至多可数集．
证明：平面 $\mathrm{R}^2$ 和开圆片都不能被其中至多可数个彼此无公共内点（可以相切）的闭圆片的集合 $\mathscr{A}$ 所覆盖．
推广：$n$ 维 Enclid 空间 $\mathbb{R}^n$ 和 $n$ 维开球体都不能被其中至多可数个彼此无公共内点（可以相切）的闭球体的集合 $\mathscr{A}$ 所覆盖（类似平面情形证明）。
设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 在 $(-R, R)$ 上收敛．令
$$
E=\left\{x \in(-R, R) \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right\},
$$
如果 $E^{\prime} \cap(-R, R) \neq \varnothing$ ，证明：$a_n=b_n, n=0,1,2, \cdots$ ．