设 $X=\left\{x_n \mid n \in \mathrm{~N}\right\}$ 为可数集， $\mathscr{R}$ 为 $X$ 中有限子集所成的环．对于 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu_1(E)$为 $E$ 中的点数，$\mu_2(E)=\alpha \mu_1(E), \alpha \in[0,+\infty)$（由例2．1．1知，$\mu_1, \mu_2$ 均为 $\mathscr{R}$ 上的测度）．证明：$\mu_1^*, \mu_2^*$ 都为 $\mathscr{H}(\mathscr{R})$ 上的测度．

举例说明环 $\mathscr{R}$ 上测度 $\mu$ 按 Caratheodory 条件所得的延拓 $\left(\mathscr{R}^*, \mu^*\right)$ 并不一定为 $(\mathscr{R}, \mu)$ 的最大的测度延拓．

设 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 的某些子集所成的环，$\mu$ 为 $\mathscr{R}$ 上的测度．任取 $E \subset X$ ，令

$$
\mathscr{R}_E=\{F \mid F \in \mathscr{R}, F \subset E\},
$$

$\mu_E$ 为 $\mu$ 在环 $\mathscr{R}_E$ 上的限制．（ $\mathscr{R}_E^*, \mu_E^*$ ）为（ $\mathscr{R}_E, \mu_E$ ）按 Caratheodory 条件的延拓．举例说明：

$$
\mathscr{R}_E^* \neq \mathscr{R}^* \cap E .
$$

设 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 的某些子集所成的环，$\mu$ 为 $\mathscr{R}$ 上的测度．则 $\mathscr{H}(\mathscr{R})$ 上的集函数

$$
\mu_*(E)=\sup \{\mu(F) \mid E \supset F \in \mathscr{R}\}
$$

（称 $\mu$ ．为内测度）具有下列各性质：
（1）非负性：$\mu_*(E) \geqslant 0$ ．特别地，$\mu_*(\varnothing)=0$ ；
（2）单调性：若 $E_1, E_2 \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2$ ，则 $\mu *\left(E_1\right) \leqslant \mu *\left(E_2\right)$ ；
（3）若 $E \in \mathscr{R}$ ，则 $\mu .(E)=\mu(E)$ ；
（4）若 $E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_i \cap E_j=\varnothing, i \neq j$ ，则

$$
\mu \cdot\left(\bigcup_{n=1}^m E_n\right) \geqslant \sum_{n=1}^m \mu_*\left(E_n\right) .
$$


进而，有

$$
\mu .\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \geqslant \sum_{n=1}^{\infty} \mu .\left(E_n\right) ;
$$

（5）对 $E \in \mathscr{R}, F \in \mathscr{H}(\mathscr{R})$ ，有

$$
\begin{aligned}
\mu *(F) & =\mu *(F \cap E)+\mu *(F-E) \\
& =\mu *(F \cap E)+\mu *\left(F \cap E^c\right) ;
\end{aligned}
$$

（6）若 $E \in \mathscr{H}(\mathscr{R})$ ，则

$$
\mu_*(E) \leqslant \mu^*(E)
$$