解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有三角形闸板, 两直角边的和为 $l$. 将其竖直放人水中, 使一直角边与水面重合, 另一直角边垂直向下.问当两直角边成何比例时, 三角形闸板承受水压力最大? 设水的密度为 $1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$,求出其最大压力.
设 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内连续可导, 且满足 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=0$, 证明：
( I ) 存在 $\xi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=2 f(\xi) \tan \xi$;
(II) 存在 $\eta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=f(\eta) \tan \eta$.
设 $k>0, y=k x^2$ 与 $y=\sin x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 在 $x=t$ 处相交, 记 $S_1$ 为 $y=k x^2$ 与 $y=\sin x$ 围成的面积; $S_2$ 为 $y=\sin x, y=\sin t$ 与 $x=\frac{\pi}{2}$ 围成的面积. 试证: $S(t)=S_1+S_2$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内必有最小值.
求极限$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$
设 $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ ，作迭代序列 $x_n=\sin \left(x_{n-1}\right) ， n=1,2, \cdots$.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=0$
(2)证明 $\left\{n x_n^2\right\}$ 收敛，并求其极限
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有连续二阶导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。
证明: (1) $\int_a^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x$
(2) $\left|\int_a^b f(x) d x\right| \leqslant \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$