解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试确定方程 $\mathrm{e}^x=a x^2(a>0)$ 的实根个数.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $g(a)=g(b)=1, f^{\prime}(x) \neq 0$. 试证存在 $\xi, \eta \in(a, b)$, 使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\mathrm{e}^{\xi-\eta}\left[g(\xi)+g^{\prime}(\xi)\right]$
对函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 填写下表:
证明当 $x>0$ 时, $\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < \sqrt{1+x^2} \arctan x$.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，满足:
$$
f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)>0 .
$$
证明: 至少存在不同的两点 $\xi, \eta \in[a, b]$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\eta)=0 .
$$
设函数 $f_1(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积， $A$ 是一个给定实数，且 $f_{n+1}(x)=A+\int_a^x f_n(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $x \in[a, b], n=1,2, \cdots$.
(1) 证明: 函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛.
(2) 记 $\left\{f_n(x)\right\}$ 极限函数为 $f(x)$ ， 证明: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可微.