单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\frac{(x+1) \sin (x-1)}{x(x-1)^2}$, 则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 ( ).
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 连续点
$\text{C.}$ 可去间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
设 $f(x)=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$, 则曲线 $f(x)$ ().
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
$\text{D.}$ 没有渐近线
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导, 则 (
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则下列顺序正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 e^{-t^2} d t}{x^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2 e}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 e}$
下列反常积分收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}$
一物体按规律 $s=t^2$ 做直线运动, 介质的阻力 $F$ 与速度 $v$ 的平方成正比 $\left(F=k v^2, k\right.$ 是比例常数), 则物体从 $s=0$ 移到 $s=a$ 克服介质阻力所作的功为 ( ).
$\text{A.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} 8 k t^3 d t$
$\text{B.}$ $\int_0^a 8 k t^3 d t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} k v^2 d t$
$\text{D.}$ $\int_0^a k v^2 d t$
设线性无关函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ 的解, $C_1, C_2$ 是任意常数, 则对应齐次方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的通解是 ( ).
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-2 y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=1+\frac{x}{(x+1)^2}$, 请回答下列的问题:
函数 $y=f(x)$ 的单调增区间为
函数 $y=f(x)$ 极大值为
曲线 $y=f(x)$ 在极大值点处的曲率为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x \cdot \sin ^2 x}$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}e^y+t y=e \\ x=\ln (1+\sin t)\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x},\left.d y\right|_{t=0}$.
已知 $\ln \ln x$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 求 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
计算 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^2 \sin x+\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\right) d x$.
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在交点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公共切线,
(1) 求常数 $a$ 及 $x_0$;
(2) 求两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $A$;
(3) 写出 (2) 中所述平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V_x$ 的定积分计算公式 (不必计算结果)。
设函数 $y=f(x)$ 具有一阶导数, 且满足 $f(x)+\frac{x^2}{2}+\int_0^x f(t) d t=0$, 求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且在 $(0, \pi)$ 内可导, 证明至少存在一点 $\xi \in(0, \pi)$, 使
$$
f(\xi) \cot \xi+f^{\prime}(\xi)=0 .
$$